Dada una matriz A y un vector b, el subespacio de Krylov de orden m es span{b, A b, A^2 b, ..., A^{m-1} b}. Es el subespacio A‑alcanzable mínimo generado por la acción polinómica de A sobre b hasta grado m−1.

Principio

Los subespacios de Krylov capturan la acción de polinomios en A sobre un vector inicial y proporcionan subespacios de aproximación crecientes para resolución lineal, problemas de valores propios y aplicaciones de funciones de matrices.

Demostración

Conjugate gradient opera en subespacios de Krylov para A simétrico positivo definido, produciendo iterados en K_m(A,b) con recurrencias de tres términos; Arnoldi construye una base ortonormal de K_m para A general para aproximar pares propios.

Aplicación incorrecta

Esperar convergencia rápida para cualquier A o descuidar la re‑ortogonalización: los métodos de Krylov pueden estancarse en matrices no normales y perder ortogonalidad, produciendo valores de Ritz inexactos.

Consecuencia

Permite métodos iterativos escalables y aproximaciones de orden reducido cuyo coste crece con la dimensión del subespacio en vez del tamaño de la matriz; a menudo produce convergencia superlineal cuando las propiedades espectrales son favorables.

Inversión

A diferencia de un subespacio invariante que contiene vectores propios exactos, un subespacio de Krylov se genera a partir de un único vector y aproxima subespacios invariantes de forma progresiva; la inversión sería exigir invariancia exacta desde el inicio.

Límite

Definido para operadores lineales en dimensiones finitas o infinitas pero limitado en la práctica por almacenamiento y estabilidad numérica; para A defectuosa o muy no normal la aproximación puede ser mala a menos que se aumente o reinicie.

Tensión semántica

Tensión frente al subespacio invariante completo: los espacios de Krylov son generativos y baratos computacionalmente a partir de un vector semilla, mientras que los subespacios invariantes están cerrados algebraicamente bajo A y requieren otra construcción.

Síntesis

El subespacio de Krylov es la envolvente polinómica de las potencias sucesivas de A aplicadas a un vector inicial y constituye la base computacional de muchos algoritmos iterativos en álgebra lineal.