Ein Vektor, der den Gradient für eine konvexe (gegebenenfalls nicht differenzierbare) Funktion an einem Punkt verallgemeinert: ein Subgradient g in x erfüllt f(y) ≥ f(x) + g·(y−x) für alle y in der Definitionsmenge; die Menge aller solchen g ist die Subdifferentialmenge.

Prinzip

Subgradienten definieren Stütz-Hyperflächen zur Epigraphen einer konvexen Funktion und liefern erste Ordnung Optimalitätsbedingungen sowie Abstiegsrichtungen, wenn klassische Ableitungen nicht existieren.

Demonstration

Für f(t)=|t| ist am Punkt t=0 das Subdifferential das Intervall [−1,1]; jedes g in [−1,1] erfüllt |y| ≥ 0 + g·(y−0) für alle y, was zeigt, wie Nichtdifferenzierbarkeit durch eine Menge gültiger Subgradienten behandelt wird.

Fehlanwendung

Subgradienten-Algorithmen ohne Konvexitätsannahme anzuwenden oder eine einseitige Steigung an einem nicht differenzierbaren Punkt als gültigen Subgradienten für nichtkonvexe Funktionen zu interpretieren, führt zu falschen Abstiegsbehauptungen.

Konsequenz

Korrekt in der konvexen Optimierung angewandt liefern Subgradienten notwendige und hinreichende Optimalitätskriterien (0 im Subdifferential) und unterstützen iterative Methoden (Subgradientenabstieg), die bei geeigneter Schrittweitenregel konvergieren.

Umkehrung

Der klassische Gradient ist der eindeutige Subgradient an einem Punkt, an dem die Funktion differenzierbar ist; umgekehrt impliziert ein singuläres Subdifferential die Differenzierbarkeit einer konvexen Funktion an diesem Punkt.

Abgrenzung

Primär formuliert für konvexe Funktionen auf konvexen Bereichen; verallgemeinerte Begriffe (Clarke-, Mordukhovich-Subgradienten) erweitern die Theorie auf gewisse nichtkonvexe Situationen, besitzen jedoch abweichende Rechenregeln und Interpretationen.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen dem konvexen Subgradienten und den verallgemeinerten Gradienten für nichtkonvexe Funktionen (Clarke, Mordukhovich): in konvexen Fällen stimmen sie überein, in nichtkonvexer Analyse unterscheiden sie sich in Mengenstruktur und Kalkül-Eigenschaften.

Synthese

Ein Subgradient ist ein Stützvektor, der den Gradient für konvexe nondifferenzierbare Funktionen ersetzt und als Subdifferential-Set Optimalitätsbedingungen und erste-Ordnungs-Methoden für nonsmooth konvexe Optimierung bereitstellt.