Un vector que generaliza el gradiente para una función convexa (posiblemente no diferenciable) en un punto: un subgradiente g en x satisface f(y) ≥ f(x) + g·(y−x) para todo y del dominio; el conjunto de tales g es el subdiferencial.

Principio

Los subgradientes definen hiperplanos de soporte al epígrafe de una función convexa y proporcionan condiciones óptimas de primer orden y direcciones de descenso cuando no existen derivadas clásicas.

Demostración

Para f(t)=|t| en t=0 el subdiferencial es el intervalo [−1,1]; cualquier g en [−1,1] cumple |y| ≥ 0 + g·(y−0) para todo y, ilustrando cómo la no diferenciabilidad se maneja con un conjunto de subgradientes válidos.

Aplicación incorrecta

Usar algoritmos basados en subgradientes sin supuestos de convexidad o interpretar cualquier pendiente unilateral en un punto no diferenciable como subgradiente válido para funciones no convexas conduce a afirmaciones de descenso incorrectas.

Consecuencia

Aplicados correctamente en optimización convexa, los subgradientes proporcionan criterios de optimalidad necesarios y suficientes (0 en el subdiferencial) y sustentan métodos iterativos (descenso por subgradiente) que convergen bajo reglas de tamaño de paso adecuadas.

Inversión

El gradiente clásico es el subgradiente único en un punto donde la función es diferenciable; a la inversa, un subdiferencial singleton implica la diferenciabilidad de una función convexa en ese punto.

Límite

Formulado principalmente para funciones convexas en dominios convexos; nociones generalizadas (Clarke, subgradientes limitantes) se extienden a ciertos entornos no convexos pero con distintas reglas de cálculo e interpretaciones.

Tensión semántica

Existe tensión entre el subgradiente convexo y los gradientes generalizados para funciones no convexas (Clarke, Mordukhovich): coinciden en el caso convexo pero difieren en la estructura del conjunto y en las propiedades de cálculo en análisis no convexo.

Síntesis

Un subgradiente es un vector de soporte que sustituye al gradiente para funciones convexas no diferenciables, formando un subdiferencial que aporta condiciones de optimalidad y métodos de primer orden para la optimización convexa nonsmooth.