Die nichtnegative Quadratwurzel der Varianz; ein Skalierungsparameter, der die typische Größe der Abweichungen vom Mittelwert in den gleichen Einheiten wie die Ausgangsvariablen angibt.

Prinzip

SD = sqrt(Var(X)); sie stellt die in der Varianz verlorenen Einheiten wieder her und spielt eine Rolle in Konzentrationsungleichungen (Chebyshev) sowie in gaußschen Charakterisierungen (68–95–99,7-Regel für Normalverteilungen).

Demonstration

Wenn Var(X)=4 (Einheiten^2), dann ist SD=2 (Einheiten). Bei der Standardnormalverteilung ist die Standardabweichung 1, und etwa 68 % der Werte liegen innerhalb ±1 SD um den Mittelwert.

Fehlanwendung

Die SD als robuste Maßzahl für typische Fehler bei schwer geschwänzten oder schiefen Verteilungen ansehen, ohne die Verteilungsform zu prüfen, oder die Stichproben-SD mit dem Standardfehler des Mittels verwechseln.

Konsequenz

Bietet eine interpretierbare Skala für Streuung, dient zur Standardisierung von Variablen (z-Werte), zum Vergleich von Variabilität bei gleichen Einheiten und zur Parametrisierung gaußscher Modelle.

Umkehrung

Die Varianz für algebraische Bequemlichkeit verwenden (Summen von Varianzen) oder robuste Skalenmaße (MAD, IQR) wählen, wenn Ausreißer oder Nicht-Normalität vorherrschen.

Abgrenzung

Sinnvoll nur, wenn die Varianz existiert (endlicher zweiter Moment). Nicht robust gegenüber Ausreißern; bei kleinen Stichproben ist die Stichproben-SD ein rauschbehafteter Schätzer der Populations-SD.

Semantische Spannung

Spannung zwischen SD als beschreibender Skala und als inferenziellem Parameter (Standardfehler vs. Populations-SD) sowie zwischen SD und robusten Alternativen bei nicht-gauss'schen Verteilungen.

Synthese

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und liefert ein Streumaß in den Originaleinheiten: interpretierbar und praktisch für Normalisierung, aber begrenzt durch Empfindlichkeit gegenüber Randbereichen und Stichprobenvariabilität.