La racine carrée non négative de la variance ; un paramètre d'échelle exprimant la magnitude typique des écarts à la moyenne dans les mêmes unités que la variable.

Principe

Écart-type = sqrt(Var(X)) ; il rétablit les unités perdues dans la variance et intervient dans des inégalités de concentration (Chebyshev) et des caractérisations gaussiennes (règle 68–95–99,7 pour la normale).

Démonstration

Si Var(X)=4 (unités^2), alors écart-type=2 (unités). Pour la normale centrée réduite, l'écart-type vaut 1 et environ 68 % des valeurs se situent dans ±1 écart-type autour de la moyenne.

Mauvaise application

Considérer l'écart-type comme mesure robuste de l'erreur typique pour des lois à queues lourdes ou asymétriques sans vérifier la forme de la distribution, ou confondre l'écart-type d'un échantillon avec l'erreur standard de la moyenne.

Conséquence

Donne une échelle interprétable de dispersion, sert à standardiser des variables (scores z), comparer la variabilité entre jeux de données de mêmes unités et paramétrer des modèles gaussiens.

Inversion

Utiliser la variance pour la commodité algébrique (sommes de variances) ou adopter des mesures d'échelle robustes (déviation absolue médiane, intervalle interquartile) quand les valeurs aberrantes ou la non-normalité dominent.

Limite

Pertinent seulement si la variance existe (moment d'ordre deux fini). Non robuste face aux outliers ; en petits échantillons l'écart-type d'échantillon est un estimateur bruyant de l'écart-type de la population.

Tension sémantique

Tension entre l'écart-type comme mesure descriptive et comme paramètre inférentiel (erreur standard vs écart-type de la population), et entre l'écart-type et des alternatives robustes pour distributions non gaussiennes.

Synthèse

L'écart-type est la racine carrée de la variance fournissant une mesure de dispersion en unités originales : utile pour l'interprétation et la normalisation, limité par sa sensibilité aux queues et à la variabilité d'échantillon.