Eine Beweistechnik, die eine Implikation P ⇒ Q dadurch begründet, dass stattdessen ihre Kontraposition ¬Q ⇒ ¬P bewiesen wird; da Implikation und Kontraposition klassisch äquivalent sind, genügt der Beweis der letzteren zur Folgerung der ersteren.

Prinzip

Nutze die logische (klassische) Äquivalenz zwischen einer Implikation und ihrer Kontraposition: das Beweisen von ¬Q ⇒ ¬P ist oft eine alternative und vereinfachende Route, um P ⇒ Q zu beweisen.

Demonstration

Zu zeigen: Wenn n^2 gerade ist, dann ist n gerade. Kontraposition: Wenn n ungerade ist (¬(n ist gerade)), dann ist n^2 ungerade (¬(n^2 ist gerade)). Beweise die Kontraposition durch Darstellung n = 2k+1 und Ausmultiplizieren von n^2; daraus folgt die ursprüngliche Implikation.

Fehlanwendung

Versuch, eine Implikation in Logiken zu rechtfertigen, in denen die Kontraposition nicht in der erforderlichen Richtung äquivalent ist (z. B. ¬Q ⇒ ¬P zu verwenden, um P ⇒ Q in der intuitionistischen Logik ohne weitere Begründung abzuleiten), oder Verwechslung von Kontraposition und Konverse (Q ⇒ P).

Konsequenz

Bietet eine standardmäßige, oft vereinfachende Beweismethode für viele klassische Sätze; kann existenziell schwierige direkte Beweise in einfachere universelle Beweise verwandeln und mitunter konstruktive Informationen über die negierten Aussagen liefern.

Umkehrung

Ein direkter Beweis von P ⇒ Q oder ein Widerspruchsbeweis (angenommen P und ¬Q, dann Widerspruch) sind Alternativen; der Beweis durch Kontraposition lässt sich oft auf einen kurzen Widerspruchsbeweis zurückführen.

Abgrenzung

Beruht auf klassischem Aussagenlogik-Rational für die Äquivalenz der Formen; obwohl P ⇒ Q in der intuitionistischen Logik immer ¬Q ⇒ ¬P nach sich zieht, kann man im Allgemeinen nicht aus ¬Q ⇒ ¬P ohne klassische Prinzipien auf P ⇒ Q schließen. Die Methode setzt außerdem eine klassische Negation und Bivalenz der beteiligten Prädikate voraus.

Semantische Spannung

Häufige Verwechslung besteht zwischen Kontraposition und Konverse (Q ⇒ P). Zudem besteht Spannung zwischen kontrapostivem Gebrauch in klassischer vs. konstruktiver Logik: klassisch äquivalent, konstruktiv nicht symmetrisch.

Synthese

Der Beweis durch Kontraposition formt eine Implikation in eine logisch äquivalente, oft leichter zu belegende Zielaussage um; es ist eine klassische Technik, die P ⇒ Q durch ¬Q ⇒ ¬P ersetzt, unter Wahrung der Vorsicht hinsichtlich konstruktiver Gültigkeit und Unterscheidung von der Konverse.