Eine Matrixfaktorisierung A = Q R, wobei Q orthogonal (bzw. unitär) und R obere Dreiecksmatrix ist; Varianten sind die volle und die reduzierte (thin) Form. Wird benutzt zur Lösung linearer Systeme, von Ausgleichsproblemen (Least Squares) und als Baustein in numerischen Eigenwertverfahren.

Prinzip

Eine Matrix in eine orthonormale Basis (Q), die die Koordinaten ändert, und einen dreieckigen Faktor (R), der die Koordinaten der Originalspalten in dieser Basis liefert, zerlegen; die Orthogonalität von Q erhält die Norm und stabilisiert die Berechnung.

Demonstration

Um min ||Ax - b|| zu lösen, berechne A = QR, dann R x = Q^T b (oder R x = Q^* b im komplexen Fall) und löse das Dreieckssystem durch Rücksubstitution. Numerisch lässt sich QR durch Householder-Reflektoren, Givens-Rotationen oder Gram–Schmidt-Verfahren erhalten.

Fehlanwendung

Die direkte klassische Gram–Schmidt ohne Reorthogonalisierung bei schlecht konditionierten Matrizen zu verwenden kann ein stark nicht-orthogonales Q und ein ungenaues R ergeben. Die Annahme der Einzigartigkeit von Q und R ohne Vorzeichen-/Phasenfestlegung oder Pivoting ist irreführend, besonders bei rangdefizienten Matrizen.

Konsequenz

Bietet numerisch stabile Methoden zur Lösung von Least-Squares-Problemen und zur Orthonormalisierung von Spalten; liefert Zerlegungen, die für weitere numerische Verfahren wie die Eigenwertberechnung oder rangaufdeckende Faktorisierungen geeignet sind.

Umkehrung

Verwende LU-Zerlegung, wenn eine Dreieck-mal-Dreieck-Faktorisierung ausreicht (für quadratische Matrizen und mit Pivoting), oder die singuläre Wertzerlegung (SVD), wenn explizite Orthogonalität und Ranginformation benötigt werden.

Abgrenzung

Gilt für Matrizen über reellen oder komplexen Innenprodukträumen; Q ist nur bis auf Vorzeichen/Phasen eindeutig, wenn R keine Null-Diagonale hat. QR ist nicht unmittelbar auf nichtlineare Operatoren oder unendlichdimensionale Operatoren ohne funktionalanalytische Erweiterung anwendbar.

Semantische Spannung

„QR“ als Faktorisierung versus „Gram–Schmidt“ als Prozess — QR bezeichnet die Matrixidentität, Gram–Schmidt den prozeduralen Weg, der ohne Modifikation instabil sein kann.

Synthese

Die QR-Zerlegung stellt eine Matrix als orthonormale Basisänderung gefolgt von einer oberen Dreieckstransformation dar; stabil implementiert durch Householder- oder Givens-Verfahren, ist sie zentral zur Lösung linearer Probleme und vieler numerischer Algorithmen der linearen Algebra.