Una factorización matricial A = Q R donde Q es ortogonal (o unitaria) y R es triangular superior; existen variantes completas y reducidas (thin). Se usa para resolver sistemas lineales, problemas de mínimos cuadrados y como componente en algoritmos numéricos de valores propios.

Principio

Separar una matriz en una base ortonormal (Q) que cambia de coordenadas y un factor triangular (R) que da las coordenadas de las columnas originales en dicha base; la ortogonalidad de Q preserva la norma y estabiliza los cálculos.

Demostración

Para resolver min ||Ax - b||, calcule A = QR, entonces R x = Q^T b (o R x = Q^* b en el caso complejo) y resuelva el sistema triangular por sustitución hacia atrás. Numéricamente, QR se obtiene mediante reflectores de Householder, rotaciones de Givens o procedimientos de Gram–Schmidt.

Aplicación incorrecta

Usar Gram–Schmidt clásico sin reorthogonalización en matrices mal condicionadas puede producir una Q muy no ortogonal y una R inexacta. Suponer unicidad de Q y R sin fijar signo/fase o sin pivotar puede inducir a error, especialmente si A tiene rango deficiente.

Consecuencia

Proporciona métodos numéricamente estables para resolver mínimos cuadrados y ortonormalizar columnas; produce descomposiciones aptas para otros procedimientos numéricos como el cálculo de valores propios y factorizaciones que revelan rango.

Inversión

Usar LU cuando una factorización triangular por triangular sea aceptable (para matrices cuadradas y con pivotado), o usar la descomposición en valores singulares (SVD) cuando se necesita ortogonalidad explícita e información sobre el rango.

Límite

Se aplica a matrices sobre espacios reales o complejos con producto interior; Q es única solo hasta signos/fases en las columnas cuando R no tiene ceros en la diagonal. QR no se aplica directamente a operadores no lineales o a operadores en dimensión infinita sin extensión funcional-analítica.

Tensión semántica

‘QR’ como factorización frente a ‘Gram–Schmidt’ como proceso — QR es la identidad matricial mientras que Gram–Schmidt es la ruta procedimental que puede ser inestable sin modificaciones.

Síntesis

La descomposición QR expresa una matriz como un cambio de base ortonormal seguido de una transformación triangular superior; implementada de forma estable por Householder o Givens, es fundamental para resolver problemas lineales y muchos algoritmos numéricos de álgebra lineal.