Ein logisches Prinzip, das für jede Aussage P behauptet, dass entweder P wahr ist oder ihre Negation ¬P wahr ist, ohne dritte Möglichkeit (formal: P ∨ ¬P).

Prinzip

Binäre Wahrheit: Aussagen werden als den Bivalenzsatz erfüllend betrachtet, wodurch Argumente auf Dichotomie und indirektem Schließen (z. B. Widerspruchsbeweis) möglich werden.

Demonstration

Klassisches Beispiel: In der Aussagenlogik ist die Tautologie p ∨ ¬p unter klassischer Wahrheitswertsemantik gültig. In der Mathematik verwenden viele klassische Beweise dies, um durch Ausschluss der Negation Existenz oder Wahrheit zu folgern (z. B. klassische Irrationalitätsbeweise durch Widerspruch).

Fehlanwendung

Anwendung des Gesetzes in konstruktiven oder intuitionistischen Kontexten, um Existenzbehauptungen oder explizite Zeugen zu beanspruchen — anzunehmen, P∨¬P impliziere Entscheidbarkeit von P — oder auf zukünftige kontingente Aussagen anzuwenden, bei denen Bivalenz philosophisch bestritten ist.

Konsequenz

Ermöglicht indirekte Beweise, vereinfacht logische Herleitungen (Elimination der Doppelnegation) und bildet die Grundlage vieler klassischer Metatheoreme (Vollständigkeit des klassischen Aussagenkalküls).

Umkehrung

Die Ablehnung des Gesetzes führt zur intuitionistischen Logik, in der P∨¬P nicht allgemein gilt und Beweise Zeugen konstruieren oder konstruktive Disjunktionen liefern müssen; alternative Umkehrungen sind mehrwertige oder parakonsistente Logiken, die Lücken oder Überlagerungen von Wahrheitswerten zulassen.

Abgrenzung

Gilt innerhalb der klassischen Aussagen- und Prädikatenlogik, die Bivalenz annimmt; gilt nicht allgemein in konstruktiver Mathematik, manchen modalen Kontexten oder parakonsistenten Rahmen. Sie behauptet logische Dichotomie, nicht algorithmische Entscheidbarkeit — P∨¬P impliziert kein effektives Entscheidungsverfahren für P.

Semantische Spannung

Spannung zwischen klassischer Wahrheit (Gesetz als metaphysische Behauptung über Wahrheitswerte) und konstruktivistischen/beweistheoretischen Auffassungen (Wahrheit als Beweisbarkeit oder Konstruktibilität). Ebenfalls Spannung zwischen dem Anspruch einer logischen Dichotomie und der Wahrung des rechnerischen Inhalts von Beweisen.

Synthese

Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten ist die klassische Dichotomie, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist; es ist mächtig für indirektes Schließen und klassische Metatheorie, wird jedoch in Rahmen eingeschränkt oder abgelehnt, die konstruktiven Inhalt verlangen oder Zwischenwahrheiten zulassen.