Un escalar λ tal que para un operador lineal o matriz cuadrada A existe un vector no nulo v con Av = λv; λ pertenece al espectro de A y caracteriza un escalado invariante a lo largo de v.

Principio

Los valores propios identifican direcciones (vectores propios) que permanecen invariantes salvo por un factor de escala bajo una transformación lineal; el polinomio característico det(A − λI)=0 da los valores propios.

Demostración

Para la matriz diagonal diag(2,3), los valores propios son 2 y 3 con vectores propios alineados con los ejes; para la matriz Jacobiana en un punto fijo, los valores propios determinan la estabilidad local.

Aplicación incorrecta

Afirmar la existencia de vectores propios para aplicaciones no lineales sin linearización, o tratar los valores propios como diagnósticos escalares únicos sin considerar multiplicidad, valores complejos o matrices defectuosas.

Consecuencia

Los valores propios permiten descomposición modal, análisis de estabilidad y resonancia, reducción de dimensionalidad (PCA usa vectores propios de la covarianza) y representaciones espectrales en operadores diferenciales.

Inversión

Los valores singulares de la descomposición en valores singulares miden la ganancia entrada‑salida sin requerir matrices cuadradas ni direcciones invariantes, enfatizando la magnitud en lugar del escalado con signo y pudiendo diferir de los valores propios.

Límite

Definidos para operadores lineales en espacios vectoriales (de dimensión finita o infinita) y sus representaciones matriciales; excluyen la aplicación directa a dinámicas no lineales salvo por linearización y excluyen invariantes no espectrales.

Tensión semántica

A menudo se confunden con valores singulares o con raíces del polinomio característico de manera genérica; los valores propios son escalares espectrales específicos vinculados a direcciones invariantes y dependen del campo (real/complexo) y del dominio del operador.

Síntesis

Un valor propio es un escalar espectral λ tal que una transformación lineal escala algún vector no nulo v por λ; junto con los vectores propios descompone la acción lineal en modos invariantes útiles en análisis, estabilidad y reducción de dimensionalidad.