Un scalaire λ tel que, pour un opérateur linéaire ou une matrice carrée A, il existe un vecteur non nul v satisfaisant Av = λv ; λ appartient au spectre de A et caractérise un étirement invariant le long de v.

Principe

Les valeurs propres identifient des directions (vecteurs propres) qui sont invariantes à un facteur d'échelle près sous une transformation linéaire ; le polynôme caractéristique det(A − λI)=0 donne les valeurs propres.

Démonstration

Pour la matrice diagonale diag(2,3), les valeurs propres sont 2 et 3 avec vecteurs propres alignés sur les axes de coordonnées ; pour une matrice Jacobienne en un point fixe, les valeurs propres déterminent la stabilité locale.

Mauvaise application

Affirmer l'existence de vecteurs propres pour des applications non linéaires sans linéarisation, ou traiter les valeurs propres comme des diagnostics scalaires uniques sans tenir compte de la multiplicité, des valeurs complexes ou des matrices défectueuses.

Conséquence

Les valeurs propres permettent la décomposition modale, l'analyse de stabilité et de résonance, la réduction de dimension (ACP utilise les vecteurs propres de la covariance) et les représentations spectrales pour opérateurs différentiels.

Inversion

Les valeurs singulières issues de la décomposition en valeurs singulières mesurent le gain entrée‑sortie sans nécessiter de matrices carrées ni de directions invariantes, mettant l'accent sur la magnitude plutôt que le facteur d'échelle signé et pouvant différer des valeurs propres.

Limite

Définies pour des opérateurs linéaires sur des espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie) et leurs représentations matricielles ; excluent l'application directe aux dynamiques non linéaires sauf via linéarisation et excluent les invariants non spectraux.

Tension sémantique

Souvent confondues avec les valeurs singulières ou les racines du polynôme caractéristique de façon générique ; les valeurs propres sont des scalaires spectraux spécifiques liés à des directions invariantes et dépendent du corps (réel/complexe) et du domaine de l'opérateur.

Synthèse

Une valeur propre est un scalaire spectral λ tel qu'une transformation linéaire étire un vecteur non nul v d'un facteur λ ; conjointement aux vecteurs propres, elle décompose l'action linéaire en modes invariants utiles pour l'analyse, la stabilité et la réduction de dimension.