Una ecuación diferencial en la que uno o más términos son procesos estocásticos, típicamente escrita con un término de deriva y un término de difusión impulsado por una martingala continua como el movimiento browniano, e interpretada en el cálculo estocástico (Itô o Stratonovich).

Principio

Modelar la evolución en tiempo continuo bajo deriva determinista y fluctuación aleatoria acoplando un término de EDO con una integral estocástica; los conceptos de solución (fuerte/débil) dependen de la adaptabilidad y la filtración elegida.

Demostración

La EDE Ornstein–Uhlenbeck dX_t = θ(μ−X_t) dt + σ dW_t tiene leyes de transición gaussianas y una distribución gaussiana estacionaria explícita cuando θ>0.

Aplicación incorrecta

Sustituir integrales estocásticas por integrales de Riemann ordinarias o ignorar la elección entre Itô y Stratonovich al aplicar fórmulas de cambio de variable.

Consecuencia

Las soluciones son procesos estocásticos (a menudo markovianos) cuyas leyes satisfacen ecuaciones hacia adelante para densidades y cuyos caminos muestrales muestran comportamiento continuo aleatorio; la existencia y unicidad dependen de la regularidad de los coeficientes.

Inversión

Fijar el coeficiente de difusión a cero reduce la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria con deriva determinista; retirar la deriva produce un proceso impulsado puramente por una martingala.

Límite

Requiere un espacio de probabilidad y una filtración y se distingue de las EDO deterministas con coeficientes aleatorios fijos; no todas las ecuaciones admiten soluciones fuertes (trayectoriales) y algunas requieren nociones generalizadas de solución.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con sistemas forzados deterministas con ruido paramétrico: una EDE codifica el ruido mediante integrales estocásticas y adaptabilidad a la filtración en lugar de coeficientes aleatorios fijos por trayectoria.

Síntesis

Un marco para leyes dinámicas en tiempo continuo que combina tendencias deterministas y forzamiento estocástico, equipado con cálculo estocástico para definir y analizar soluciones y sus distribuciones.