Une équation différentielle dont un ou plusieurs termes sont des processus stochastiques, généralement écrite avec un terme de dérive et un terme de diffusion piloté par une martingale continue comme le mouvement brownien, et interprétée en calcul stochastique (Itô ou Stratonovich).

Principe

Modéliser l'évolution en temps continu sous action conjointe d'une dérive déterministe et de fluctuations aléatoires en couplant un terme d'EDO à une intégrale stochastique ; les concepts de solution (forte/faible) dépendent de l'adaptabilité et du filtrage choisi.

Démonstration

L'EDST Ornstein–Uhlenbeck dX_t = θ(μ−X_t) dt + σ dW_t possède lois de transition gaussiennes et une distribution stationnaire gaussienne explicite lorsque θ>0.

Mauvaise application

Remplacer les intégrales stochastiques par des intégrales de Riemann ordinaires ou ignorer le choix entre Itô et Stratonovich lors de l'application de formules de changement de variable.

Conséquence

Les solutions sont des processus stochastiques (souvent markoviens) dont les lois satisfont des équations directes pour les densités et dont les trajectoires échantillons présentent un comportement continu aléatoire ; existence et unicité dépendent de la régularité des coefficients.

Inversion

Poser le coefficient de diffusion nul ramène l'équation à une équation différentielle ordinaire à dérive déterministe ; inversement, supprimer la dérive donne un processus purement martingal.

Limite

Nécessite un espace probabilisé et un filtrage et se distingue des EDO déterministes à coefficients aléatoires fixes ; toutes les équations n'admettent pas de solutions fortes (pathwise) et certaines demandent des notions généralisées de solution.

Tension sémantique

Souvent comparée aux systèmes forcés déterministes à bruit paramétrique : une EDS encode le bruit via des intégrales stochastiques et l'adaptativité au filtrage, plutôt que par des coefficients aléatoires fixés sur chaque trajectoire.

Synthèse

Un cadre pour lois dynamiques en temps continu combinant tendances déterministes et forcing stochastique, muni du calcul stochastique pour définir et analyser solutions et lois.