Una ecuación en derivadas parciales parabólica que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad del estado de un proceso estocástico, típicamente el límite de difusión de la ley de una ecuación diferencial estocástica.

Principio

Expresar la conservación de probabilidad y el equilibrio de flujos: los términos de deriva generan flujo advectivo, los términos de difusión flujo difusivo; conjuntamente gobiernan el transporte de densidad y la aproximación a medidas invariantes.

Demostración

La ecuación de Fokker–Planck asociada al proceso Ornstein–Uhlenbeck es una PDE parabólica lineal cuya solución fundamental gaussiana relaja hacia una densidad gaussiana estacionaria cuando la deriva es restauradora.

Aplicación incorrecta

Aplicar fórmulas de Fokker–Planck derivadas para difusiones continuas a procesos con saltos o cadenas de Markov de estado discreto sin sustituirlas por una ecuación maestra o un operador no local.

Consecuencia

Transforma un problema de dinámica estocástica en una PDE determinista para densidades: las soluciones estacionarias corresponden a medidas invariantes; el análisis espectral del generador da tasas de relajación y decaimiento de la varianza.

Inversión

Eliminar términos de difusión produce la ecuación de transporte de Liouville para flujos deterministas (transporte advectivo puro); añadir términos de salto no locales la convierte en una ecuación integral‑diferencial de tipo maestra.

Límite

Válida para procesos de difusión markovianos con coeficientes suficientemente regulares y condiciones de contorno apropiadas; no se aplica directamente a procesos de salto puro ni a regímenes de coeficientes mal planteados que requieran soluciones en sentido de distribuciones.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con la ecuación de Kolmogorov hacia atrás: la Fokker–Planck es hacia adelante en el tiempo para densidades, mientras que la ecuación hacia atrás gobierna observables o expectativas que evolucionan en el sentido inverso según el generador.

Síntesis

Una PDE determinista que codifica la evolución hacia adelante de densidades de probabilidad para procesos estocásticos de tipo difusión, vinculando coeficientes de deriva y difusión con flujos de probabilidad advectivos y difusivos y estados estacionarios.