Une équation aux dérivées partielles parabolique qui décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité de l'état d'un processus stochastique, typiquement la limite de diffusion de la loi d'une équation différentielle stochastique.

Principe

Exprimer la conservation de la probabilité et l'équilibre des flux : les termes de dérive créent un flux advectif, les termes de diffusion un flux diffusif ; ensemble ils gouvernent le transport de densité et l'approche vers des mesures invariantes.

Démonstration

L'équation de Fokker‑Planck associée au processus Ornstein–Uhlenbeck est une EDP parabolique linéaire dont la solution fondamentale gaussienne relaxe vers une densité gaussienne stationnaire lorsque la dérive est rétablie.

Mauvaise application

Appliquer des formules de Fokker‑Planck valables pour des diffusions continues à des processus à sauts ou à des chaînes de Markov à états discrets sans les remplacer par une équation maître ou un opérateur non local.

Conséquence

Transforme un problème de dynamique stochastique en une EDP déterministe pour les densités : les solutions stationnaires correspondent à des mesures invariantes, l'analyse spectrale du générateur fournit des taux de relaxation et de décroissance de variance.

Inversion

Supprimer les termes de diffusion donne l'équation de transport de Liouville pour des flots déterministes (transport advectif pur) ; ajouter des termes de saut non locaux la convertit en une équation intégrale‑différentielle de type maître.

Limite

Valable pour des processus de diffusion markoviens avec coefficients suffisamment réguliers et conditions aux limites appropriées ; ne s'applique pas directement aux processus à sauts purs ni à des régimes de coefficients mal posés nécessitant des solutions distributionnelles.

Tension sémantique

Souvent comparée à l'équation de Kolmogorov arrière : la Fokker‑Planck est avant (forward) pour les densités, tandis que l'équation arrière gouverne les observables ou espérances évoluant selon le générateur en sens inverse.

Synthèse

Une EDP déterministe codant l'évolution vers l'avant des densités de probabilité pour des processus stochastiques de type diffusion, reliant les coefficients de dérive et de diffusion aux flux de probabilité advectifs et diffusifs et aux états stationnaires.