Función escalar V(x) definida en una vecindad de un equilibrio de un sistema dinámico que es positiva definida y cuya derivada a lo largo de las trayectorias del sistema tiene un signo definido (típicamente no creciente), usada como certificado de estabilidad sin resolver las trayectorias.

Principio

Si V es positiva definida y su derivada temporal a lo largo de las soluciones es negativa definida (o no positiva), entonces el equilibrio es estable (o estable en el sentido de Lyapunov / asintóticamente estable bajo condiciones más fuertes).

Demostración

Para el sistema lineal ẋ = −a x con a>0, elegir V(x)=x^2: V>0 para x≠0 y dV/dt = 2x ẋ = −2a x^2 ≤ 0, probando la estabilidad asintótica del equilibrio en 0.

Aplicación incorrecta

Usar una candidata V que no sea positiva definida o cuya derivada cambie de signo y afirmar estabilidad; o aplicar el concepto sin verificar su dominio de validez (local vs global).

Consecuencia

Proporciona un método constructivo, a menudo independiente de las coordenadas, para probar estabilidad o atractividad de equilibrios; puede dar regiones de atracción y certificados de robustez sin integrar el sistema.

Inversión

La ausencia de una función de Lyapunov de una forma simple dada no implica inestabilidad; por el contrario, una función de tipo energía que aumenta a lo largo de las trayectorias indica inestabilidad o repulsión.

Límite

Formulado para sistemas dinámicos deterministas (en tiempo continuo o discreto) con regularidad suficiente; la existencia puede ser solo local y no se extiende directamente a sistemas con dinámica no diferenciable o a ciertas formulaciones estocásticas.

Tensión semántica

Relacionado pero distinto de la energía física: ambos son medidas escalares, pero una función de Lyapunov es un certificado matemático de estabilidad y no tiene por qué corresponder a una energía física conservada o disipada.

Síntesis

Una función de Lyapunov es un certificado escalar definido cerca de un equilibrio que, al ser positiva definida y decrecer a lo largo de las trayectorias, establece propiedades de estabilidad sin resolución explícita de la dinámica.