Fonction scalaire V(x) définie dans un voisinage d'un équilibre d'un système dynamique, positive définie et dont la dérivée le long des trajectoires du système a un signe déterminé (typiquement décroissante), utilisée comme certificat de stabilité sans résoudre les trajectoires.

Principe

Si V est positive définie et que sa dérivée temporelle le long des solutions est négative définie (ou non positive), alors l'équilibre est stable (ou de Lyapunov stable / asymptotiquement stable sous des conditions plus fortes).

Démonstration

Pour le système linéaire ẋ = −a x avec a>0, prendre V(x)=x^2 : V>0 pour x≠0 et dV/dt = 2x ẋ = −2a x^2 ≤ 0, prouvant la stabilité asymptotique de l'équilibre en 0.

Mauvaise application

Utiliser une candidate V qui n'est pas positive définie ou dont la dérivée change de signe puis prétendre à la stabilité ; ou appliquer le concept sans vérifier le domaine de validité (local vs global).

Conséquence

Fournit une méthode constructive, souvent indépendante des coordonnées, pour prouver la stabilité ou l'attractivité des équilibres ; peut donner des régions d'attraction et des certificats de robustesse sans intégrer le système.

Inversion

L'absence d'une fonction de Lyapunov d'une forme simple donnée n'implique pas l'instabilité ; inversement, une fonction de type énergie qui augmente le long des trajectoires indique l'instabilité ou la répulsion.

Limite

Formulée pour des systèmes dynamiques déterministes (temps continu ou discret) avec suffisante régularité ; l'existence peut être seulement locale et ne s'étend pas directement aux systèmes à dynamique non différentiable ou à certaines formulations stochastiques.

Tension sémantique

Liée mais distincte de l'énergie physique : les deux sont des grandeurs scalaires, mais une fonction de Lyapunov est un certificat mathématique de stabilité et ne correspond pas nécessairement à une énergie physique conservée ou dissipée.

Synthèse

Une fonction de Lyapunov est un certificat scalaire défini au voisinage d'un équilibre qui, étant positive définie et décroissante le long des trajectoires, établit des propriétés de stabilité sans résolution explicite de la dynamique.