Un espacio de Banach (o Hilbert) de clases de equivalencia de funciones en un dominio cuyas derivadas débiles hasta un orden especificado pertenecen a un espacio Lp; habitualmente denotado W^{k,p} o H^{k} para p=2.

Principio

Organizar la regularidad funcional por la integrabilidad de las derivadas débiles en lugar de la diferenciabilidad puntual, intercambiando suavidad clásica por control de la variación media.

Demostración

H1(Ω) es el cierre de C∞_c(Ω) en la norma ||u||_{H1}= (||u||_{L2}^2+||∇u||_{L2}^2)^{1/2}; las soluciones de formulaciones varacionales de problemas elípticos con condiciones en la frontera pertenecen naturalmente a H1(Ω).

Aplicación incorrecta

Tratar una derivada débil como derivada puntual en todo punto e imponer trazas clásicas sin verificar teoremas de traza o regularidad adicional.

Consecuencia

Permite resultados de existencia y compacidad (por ejemplo, los embeddings de Rellich–Kondrachov) y estimaciones a priori para EDP controlando normas Lp de las derivadas en lugar del comportamiento puntual.

Inversión

Los espacios clásicos C^k exigen derivadas continuas punto por punto de orden k; invertir la idea reemplaza la regularidad basada en integrabilidad por suavidad uniforme punto por punto.

Límite

Se aplica a funciones medibles en dominios con medida de Lebesgue y a órdenes y p para los que existan derivadas débiles; excluye distribuciones no representables por funciones Lp y marcos que requieran regularidad fraccionaria o tipo Besov.

Tensión semántica

A menudo se contrapone a los espacios de Hölder: ambos cuantifican regularidad, pero los espacios de Sobolev enfatizan la integrabilidad de derivadas mientras que los de Hölder enfatizan el módulo de continuidad uniforme.

Síntesis

Un espacio de Sobolev es el conjunto de funciones cuyas derivadas débiles hasta cierto orden son Lp-integrables, proporcionando un marco basado en integrabilidad para analizar existencia, estabilidad y aproximación de soluciones de EDP.