Un espace de Banach (ou Hilbert) d'équivalence de fonctions sur un domaine dont les dérivées faibles jusqu'à un ordre donné appartiennent à un espace Lp ; noté classiquement W^{k,p} ou H^{k} pour p=2.

Principe

Organiser la régularité des fonctions par l'intégrabilité de leurs dérivées faibles plutôt que par la différentiation point par point, échangeant la régularité classique contre le contrôle de la variation moyenne.

Démonstration

H1(Ω) est l'adhérence de C∞_c(Ω) pour la norme ||u||_{H1}= (||u||_{L2}^2+||∇u||_{L2}^2)^{1/2} ; les solutions des formulations variationnelles de problèmes elliptiques avec conditions aux limites appartiennent naturellement à H1(Ω).

Mauvaise application

Considérer qu'une dérivée faible est une dérivée ponctuelle partout et imposer des traces classiques sans vérifier les théorèmes de trace ou une régularité supplémentaire.

Conséquence

Permet des résultats d'existence et de compacité (par ex. plongements de Rellich–Kondrachov) et des estimations a priori pour les EDP en contrôlant des normes Lp des dérivées plutôt que le comportement point par point.

Inversion

Les espaces classiques C^k exigent des dérivées continues point par point d'ordre k ; inverser l'idée remplace la régularité fondée sur l'intégrabilité par une régularité uniforme point par point.

Limite

S'applique aux fonctions mesurables sur des domaines munis de la mesure de Lebesgue et aux ordres et p pour lesquels les dérivées faibles existent ; exclut les distributions non représentables par des fonctions Lp et les cadres requérant une régularité fractionnaire ou de type Besov.

Tension sémantique

Souvent mis en contraste avec les espaces de Hölder : les deux quantifient la régularité, mais les espaces de Sobolev mettent l'accent sur l'intégrabilité des dérivées tandis que les espaces de Hölder privilégient le module de continuité uniforme.

Synthèse

Un espace de Sobolev est l'espace des fonctions dont les dérivées faibles jusqu'à un certain ordre sont Lp-intégrables, offrant un cadre fondé sur l'intégrabilité pour étudier l'existence, la stabilité et l'approximation des solutions d'EDP.