Una función (o clase de funciones equivalentes) que satisface una ecuación diferencial cuando se integra contra una clase de funciones test, de modo que las derivadas aparecen en sentido de distribuciones y las condiciones de contorno se codifican mediante trazas o el espacio de test.

Principio

Sustituir la diferenciación puntual por la integración frente a funciones test lisas de soporte compacto y usar la integración por partes para desplazar derivadas hacia las funciones test, reduciendo así los requisitos de regularidad de la solución.

Demostración

Una función u∈H0^1(Ω) es solución débil de -Δu=f en Ω si ∫_Ω ∇u·∇φ = ∫_Ω f φ para todo φ∈C∞_c(Ω); la existencia sigue de Lax–Milgram cuando la forma bilineal es coercitiva.

Aplicación incorrecta

Suponer que una solución débil debe ser diferenciable clásicamente sin verificar la regularidad elíptica u otras hipótesis de suavidad adicionales, lo que conduce a interpretaciones incorrectas de las condiciones de contorno.

Consecuencia

Permite pruebas de existencia y unicidad con regularidad mínima, uso de métodos variacionales y aproximación por elementos finitos; las soluciones débiles son el espacio natural objetivo para muchas EDP lineales y no lineales.

Inversión

Una solución fuerte (clásica) satisface la ecuación diferencial puntualmente con derivadas clásicas; invertir la noción débil impone diferenciabilidad más estricta e igualdad puntual en lugar de identidades integradas.

Límite

Se aplica cuando la EDP y las condiciones de contorno pueden interpretarse en sentido distribuido y la solución pertenece a un espacio funcional donde las integrales están definidas; excluye ecuaciones que requieren operaciones no lineales puntuales no definidas para distribuciones.

Tensión semántica

Se contrasta con soluciones de viscosidad: ambas son nociones generalizadas para EDP, pero las de viscosidad usan principios de comparación y se adaptan a ecuaciones plenamente no lineales de primer y segundo orden, mientras que las soluciones débiles son variacionales/distribucionales.

Síntesis

Una solución débil es un objeto que satisface una ecuación diferencial en sentido distribuido al probarla contra funciones lisas, reduciendo requisitos de suavidad y manteniendo el contenido variacional de la ecuación.