Une fonction (ou classe d'équivalence de fonctions) qui satisfait une équation différentielle lorsqu'on l'intègre contre une classe de fonctions test, de sorte que les dérivées apparaissent au sens des distributions et que les conditions aux limites sont encodées via des traces ou l'espace de tests.

Principe

Remplacer la différenciation point par point par l'intégration contre des fonctions test lisses à support compact et utiliser l'intégration par parties pour transférer les dérivées sur les fonctions test, abaissant ainsi les exigences de régularité sur la solution.

Démonstration

Une fonction u∈H0^1(Ω) est une solution faible de -Δu=f dans Ω si ∫_Ω ∇u·∇φ = ∫_Ω f φ pour tout φ∈C∞_c(Ω) ; l'existence découle du théorème de Lax–Milgram lorsque la forme bilinéaire est coercive.

Mauvaise application

Supposer qu'une solution faible doit être différentiable au sens classique sans vérifier la régularité elliptique ou les hypothèses de lissage supplémentaires, conduisant à des interprétations erronées des conditions aux limites.

Conséquence

Permet des preuves d'existence et d'unicité sous une régularité minimale, l'usage de méthodes variationnelles et l'approximation par éléments finis ; les solutions faibles sont l'espace cible naturel pour de nombreuses EDP linéaires et non linéaires.

Inversion

Une solution forte (classique) satisfait l'équation différentielle point par point avec des dérivées classiques ; inverser la notion faible impose une différentiabilité plus stricte et une égalité point par point au lieu d'identités intégrées.

Limite

S'applique lorsque l'EDP et les conditions aux limites peuvent être interprétées distributionnellement et que la solution appartient à un espace fonctionnel où les intégrales sont définies ; exclut les équations nécessitant des opérations non linéaires point par point non définies pour les distributions.

Tension sémantique

Se contraste avec les solutions de viscosité : les deux sont des généralisations pour les EDP, mais les solutions de viscosité utilisent des principes de comparaison et conviennent aux équations pleinement non linéaires d'ordre un et deux, tandis que les solutions faibles sont variationnelles/distributionnelles.

Synthèse

Une solution faible est un objet qui satisfait une équation différentielle au sens distributionnel en étant testée contre des fonctions lisses, abaissant les exigences de régularité tout en conservant le contenu variationnel de l'équation.