Una conexión lineal que asigna a cada campo vectorial un operador de derivada direccional que actúa sobre campos tensoriales, compatible con el tipo tensorial y que satisface la regla de Leibniz compensando los cambios de bases locales.

Principio

Extender la noción de derivación direccional a objetos geométricos en una variedad suave introduciendo términos de corrección (coeficientes de conexión) que restauran la transformación tensorial ante cambios de coordenadas.

Demostración

En una variedad suave riemanniana con conexión de Levi–Civita ∇, la derivada covariante de un campo vectorial V a lo largo de W es ∇_W V = W^i(∂_i V^j + Γ^j_{ik}V^k)∂_j, donde Γ son los símbolos de Christoffel determinados por la métrica.

Aplicación incorrecta

Emplear derivadas parciales ordinarias en coordenadas curvadas para comparar componentes tensores en puntos distintos sin añadir términos de conexión; ello produce resultados no tensores que dependen de la elección de coordenadas.

Consecuencia

La diferenciación covariante define el transporte paralelo, las geodésicas (vía ∇_{γ̇} γ̇ = 0) y los tensores de curvatura; proporciona el mecanismo para formular ecuaciones diferenciales intrínsecas en espacios curvos.

Inversión

La derivada direccional ordinaria en un marco cartesiano global coincide con la derivada covariante si los coeficientes de conexión se anulan; en esa elección de coordenadas planas no se necesita corrección.

Límite

Requiere un fibrado vectorial suave y una conexión especificada; no todo operador similar a una derivada sobre secciones es covariante — la compatibilidad con Leibniz y la linealidad sobre funciones suaves fijan la forma de las conexiones admisibles.

Tensión semántica

A menudo se contrapone con la derivada de Lie: ambas miden cambio a lo largo de flujos, pero la derivada de Lie es intrínseca al flujo y no depende de conexión elegida, mientras que la derivada covariante depende de una conexión y respeta reglas de contracción tensorial.

Síntesis

La derivada covariante es la regla de derivación basada en una conexión para diferenciar objetos tensoriales a lo largo de direcciones en una variedad suave que preserva el tipo tensorial y codifica transporte paralelo y curvatura.