Une connexion linéaire qui assigne à chaque champ de vecteurs un opérateur de dérivation directionnelle agissant sur les champs tensoriels, compatible avec le type tensoriel et satisfaisant la règle de Leibniz tout en compensant les changements de bases locales.

Principe

Étendre la notion de dérivation directionnelle aux objets géométriques sur une variété lisse en introduisant des termes de correction (coefficients de connexion) qui restaurent la transformation tensorielle lors du changement de coordonnées.

Démonstration

Sur une variété lisse muni d'une métrique et de la connexion de Levi–Civita ∇, la dérivée covariante d'un champ de vecteurs V le long de W s'écrit ∇_W V = W^i(∂_i V^j + Γ^j_{ik}V^k)∂_j, où Γ sont les symboles de Christoffel déterminés par la métrique.

Mauvaise application

Employer des dérivées partielles ordinaires dans des coordonnées courbes pour comparer des composantes tensorielles en des points différents sans ajouter de termes de connexion ; on obtient alors des résultats non tensoriaux dépendant du choix de coordonnées.

Conséquence

La dérivation covariante définit le transport parallèle, les géodésiques (via ∇_{γ̇} γ̇ = 0) et les tenseurs de courbure ; elle fournit le mécanisme pour formuler des équations différentielles intrinsèques sur des espaces courbes.

Inversion

La dérivée directionnelle ordinaire dans un repère cartésien global coïncide avec la dérivée covariante dont les coefficients de connexion sont nuls ; dans ce choix de coordonnées plates aucune correction n'est requise.

Limite

Nécessite un fibré vectoriel lisse et une connexion spécifiée ; tout opérateur ressemblant à une dérivée sur les sections n'est pas une dérivée covariante — la compatibilité de Leibniz et la linéarité sur les fonctions lisses contraignent la forme des connexions admissibles.

Tension sémantique

Souvent comparée à la dérivée de Lie : toutes deux mesurent le changement le long d'un flot, mais la dérivée de Lie est intrinsèque aux flots et indépendante d'une connexion choisie, tandis que la dérivée covariante dépend d'une connexion et respecte les règles de contraction tensorielles.

Synthèse

La dérivée covariante est la règle de dérivation fondée sur une connexion pour différencier des objets tensoriels le long de directions sur une variété lisse, préservant le type tensoriel et codant le transport parallèle et la courbure.