La medida de probabilidad atómica que asigna masa igual 1/n a cada uno de los n puntos de muestra observados, comúnmente escrita μ_n = (1/n)∑_{i=1}^n δ_{x_i}, y que sirve como estimador no paramétrico de la distribución subyacente.

Principio

Sustituir una distribución poblacional desconocida por la distribución discreta soportada en la muestra para estimar expectativas y cantidades dependientes de la ley mediante promedios simples de evaluaciones puntuales.

Demostración

Dado un muestreo i.i.d. x_1,…,x_n de una distribución P en un espacio medible, la medida empírica μ_n asigna masa 1/n a cada x_i; para cualquier función test continua y acotada f, ∫ f dμ_n = (1/n)∑ f(x_i).

Aplicación incorrecta

Tratar la medida empírica como si fuera una densidad suave sin suavizado o kernelización; usar μ_n directamente en problemas de inferencia que requieren absoluta continuidad conduce a evaluaciones de verosimilitud inválidas.

Consecuencia

A medida que crece el tamaño muestral, la medida empírica se concentra alrededor de la ley verdadera, de modo que los promedios muestrales aproximan las expectativas poblacionales; constituye la base del bootstrap y de muchos procedimientos no paramétricos.

Inversión

Un estimador de densidad suavizado (por ejemplo, convolución kernel de la medida empírica) reemplaza las masas puntuales por kernels continuos localizados para producir una densidad respecto a una medida de referencia.

Límite

Definida para muestras finitas en espacios medibles y, como estimador, no codifica estructura de modelo paramétrico; excluye versiones suavizadas o regularizadas salvo que explícitamente se convoquen con kernels.

Tensión semántica

Contrasta con estimadores paramétricos: las medidas empíricas hacen suposiciones mínimas de modelo y capturan la muestra exactamente, mientras que los ajustes paramétricos introducen estructura que puede reducir la varianza a costa de sesgo potencial.

Síntesis

La medida empírica es la representación no paramétrica más simple de datos muestreados, una medida de probabilidad atómica cuyas integrales reproducen promedios muestrales y que converge a la distribución generadora conforme aumenta el tamaño muestral.