La mesure de probabilité atomique qui place une masse égale 1/n en chacun des n points d'échantillon observés, généralement notée μ_n = (1/n)∑_{i=1}^n δ_{x_i}, servant d'estimateur non paramétrique de la distribution sous-jacente.

Principe

Remplacer une distribution populationnelle inconnue par la distribution discrète supportée sur l'échantillon pour estimer espérances et grandeurs dépendant de la loi par de simples moyennes d'évaluations ponctuelles.

Démonstration

Étant donné des échantillons i.i.d. x_1,…,x_n issus d'une loi P sur un espace mesurable, la mesure empirique μ_n attribue la masse 1/n à chaque x_i ; pour toute fonction test continue et bornée f, ∫ f dμ_n = (1/n)∑ f(x_i).

Mauvaise application

Considérer la mesure empirique comme une densité lisse sans lissage ou noyautage ; utiliser μ_n directement pour des problèmes d'inférence nécessitant une valeur absolue continue conduit à des évaluations de vraisemblance non valides.

Conséquence

Avec l'augmentation de la taille d'échantillon la mesure empirique se concentre autour de la loi vraie de sorte que les moyennes d'échantillon approchent les espérances populationnelles ; elle fonde le bootstrap et de nombreuses procédures non paramétriques.

Inversion

Un estimateur de densité lissé (par exemple convolution noyau de la mesure empirique) remplace les masses ponctuelles par des noyaux localisés continus pour produire une densité par rapport à une mesure de référence.

Limite

Définie pour des échantillons finis sur des espaces mesurables et, en tant qu'estimateur, elle n'encode pas de structure de modèle paramétrique ; exclut les versions lissées ou régularisées sauf si une convolution par noyau est explicitement effectuée.

Tension sémantique

Se distingue des estimateurs paramétriques : les mesures empiriques font peu d'hypothèses de modèle et capturent l'échantillon exactement, tandis que les ajustements paramétriques introduisent une structure qui peut réduire la variance au prix d'un biais potentiel.

Synthèse

La mesure empirique est la représentation non paramétrique la plus simple des données échantillonnées, une mesure de probabilité atomique dont les intégrales reproduisent les moyennes d'échantillon et qui converge vers la loi de génération avec l'augmentation de la taille d'échantillon.