Relación entre dos sistemas dinámicos (flujos u homeomorfismos) que afirma que son equivalentes mediante un cambio de coordenadas continuo: existe un homeomorfismo que transporta las órbitas de un sistema sobre las del otro preservando el orden de evolución temporal (la conjugación transporta la dinámica).

Principio

Dos sistemas son conjugados topológicamente si existe una transformación bicontinua H tal que H∘Φ_t = Ψ_t∘H para todo tiempo t (para flujos) o H∘f = g∘H (para mapas), lo que implica idéntica estructura cualitativa de órbitas y propiedades de recurrencia.

Demostración

Un cambio de variable continuo y monotónico puede conjugar una aplicación lineal por tramos expansiva en un intervalo con una aplicación suave expansiva que comparta la misma dinámica cualitativa; el homeomorfismo reparametriza puntos pero preserva la topología de las órbitas.

Aplicación incorrecta

Igualar conjugación topológica con isomorfismo medible (teoría de la medida) — difieren: la conjugación preserva rasgos topológicos como las órbitas periódicas, mientras que el isomorfismo medible preserva propiedades respecto a una medida y puede ignorar distinciones topológicas.

Consecuencia

Sistemas conjugados topológicamente comparten invariantes cualitativos: tipos de órbitas, estructura de puntos periódicos, recurrencia, transitividad y entropía topológica (en la medida en que sea invariante), lo que permite clasificar dinámicas hasta un cambio continuo de coordenadas.

Inversión

Semiconjugación o mapas factor (sursiones continuas que entrelazan dinámicas pero no son invertibles) que colapsan órbitas y pierden equivalencia completa; o conjugación suave (C^k), que es más fuerte y exige cambios de coordenadas diferenciables.

Límite

Requiere la existencia de un homeomorfismo entre los espacios de soporte y es una noción topológica: no exige diferenciabilidad ni considera la preservación de medida salvo que se especifique adicionalmente.

Tensión semántica

La tensión aparece frente a equivalencias más fuertes (conjugación suave) o frente a nociones más débiles (semiconjugación topológica); la elección depende de si se enfatiza la topología cualitativa, la diferenciabilidad o la estructura medible.

Síntesis

La conjugación topológica es la relación de equivalencia que clasifica sistemas dinámicos que son iguales salvo un cambio de coordenadas continuo e invertible, preservando la estructura cualitativa de las órbitas y el orden temporal de las trayectorias.