Relation entre deux systèmes dynamiques (flots ou homéomorphismes) affirmant qu'ils sont équivalents à un changement de coordonnées continu près : il existe un homéomorphisme qui envoie les orbites d'un système sur celles de l'autre en préservant l'ordre d'évolution temporelle (la conjugaison transporte la dynamique).

Principe

Deux systèmes sont conjugués topologiquement s'il existe une transformation de coordonnées bicontinue H telle que H∘Φ_t = Ψ_t∘H pour tout temps t (pour les flots) ou H∘f = g∘H (pour les applications), impliquant une structure qualitative des orbites et des propriétés de récurrence identiques.

Démonstration

Un changement de variable continu et strictement croissant peut conjuguer une application par morceaux linéaire expansive d'un intervalle à une application lisse expansive ayant la même dynamique qualitative ; l'homéomorphisme reparamétrise les points tout en préservant la topologie des orbites.

Mauvaise application

Assimiler la conjugaison topologique à l'isomorphisme métrique (théorie de la mesure) (elles diffèrent : la conjugaison préserve des caractéristiques topologiques comme les orbites périodiques, tandis que l'isomorphisme mesuré préserve les propriétés métriques en ignorant des distinctions topologiques).

Conséquence

Les systèmes conjugués topologiquement partagent des invariants qualitatifs : types d'orbites, structure des points périodiques, récurrence, transitivité et entropie topologique (selon invariance), permettant de classer les dynamiques à changement de coordonnées continu près.

Inversion

La semi‑conjugaison ou les facteurs (surjections continues qui entrelacent les dynamiques mais ne sont pas inversibles) qui écrasent des orbites et perdent l'équivalence complète ; ou la conjugaison différentiable (C^k) qui est plus forte et exige des changements de coordonnées différentiables.

Limite

Exige l'existence d'un homéomorphisme entre les espaces ambiants et est une notion topologique — elle ne demande pas de différentiabilité, ni ne prend en compte les propriétés de préservation de la mesure sauf si cela est spécifié en plus.

Tension sémantique

La tension apparaît avec des équivalences plus régulières (conjugaison lisse) et avec des notions plus faibles (semi‑conjugaison topologique) ; le choix dépend de l'accent mis sur la topologie qualitative, la différentiabilité ou la structure mesurée.

Synthèse

La conjugaison topologique est la relation d'équivalence classant les systèmes dynamiques identiques à un changement de coordonnées continu et inversible près, préservant la structure qualitative des orbites et l'ordre temporel des trajectoires.