La matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función vectorial entre espacios euclidianos de dimensión finita; representa la mejor aproximación lineal de la aplicación en un punto.

Principio

Linealización local: la jacobiana organiza cómo los cambios infinitesimales en la entrada generan cambios infinitesimales en la salida mediante la regla de la cadena multivariable.

Demostración

Para F(x,y) = (u(x,y),v(x,y)) la jacobiana es [[∂u/∂x, ∂u/∂y],[∂v/∂x, ∂v/∂y]]; para coordenadas polares (r,θ)↦(x=r cosθ,y=r sinθ) las entradas provienen de esas derivadas parciales y su determinante vale r.

Aplicación incorrecta

Usar la jacobiana en un punto donde la aplicación no es diferenciable, o tratarla como una linearización válida globalmente para mapas fuertemente no lineales alejados del punto de expansión.

Consecuencia

Permite aproximar localmente mapas no lineales, efectuar cambios de variable en integrales mediante el determinante de la jacobiana y realizar análisis de estabilidad lineal de puntos fijos.

Inversión

En lugar de diferenciar el mapa directo, puede considerarse la derivada del mapa inverso; cuando es invertible la jacobiana inversa es la matriz inversa de la jacobiana.

Límite

Requiere diferenciabilidad (existencia de derivadas parciales) en el punto; para aplicaciones en dimensiones infinitas se necesita una derivada de Fréchet o de Gateaux adecuada; los puntos singulares donde la jacobiana tiene rango deficiente quedan excluidos de afirmaciones de invertibilidad.

Tensión semántica

Suele confundirse con la Hessiana (matriz de segundas derivadas) o con el gradiente (vector de primeras derivadas de una función escalar); la jacobiana es concretamente la derivada de una aplicación vectorial.

Síntesis

La matriz jacobiana es el mapa lineal local —compuesto por las derivadas parciales de primer orden— que codifica cómo pequeñas perturbaciones de entrada se transforman en perturbaciones de salida y que sustenta cambios de coordenadas y análisis de estabilidad.