La matrice de toutes les dérivées partielles d'ordre un d'une fonction vectorielle entre espaces euclidiens de dimension finie ; elle représente la meilleure approximation linéaire de l'application en un point.

Principe

Linéarisation locale : la jacobienne organise la façon dont des variations infinitésimales de l'entrée produisent des variations infinitésimales de la sortie via la règle de la chaîne multivariée.

Démonstration

Pour F(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), la matrice jacobienne est [[∂u/∂x, ∂u/∂y],[∂v/∂x, ∂v/∂y]] ; pour les coordonnées polaires (r,θ)↦(x=r cosθ,y=r sinθ), les entrées proviennent de ces dérivées partielles et son déterminant vaut r.

Mauvaise application

Employer la jacobienne en un point où l'application n'est pas différentiable, ou la considérer comme une linéarisation valable globalement pour des relations fortement non linéaires éloignées du point d'expansion.

Conséquence

Permet d'approximer localement des applications non linéaires, d'effectuer des changements de variable dans les intégrales via le déterminant de la jacobienne, et d'analyser la stabilité linéaire des points fixes.

Inversion

Au lieu de différencier l'application directe, on peut considérer la dérivée d'une application inverse ; lorsque celle-ci est inversible, la jacobienne inverse est la matrice inverse de la jacobienne.

Limite

Nécessite la différentiabilité (existence des dérivées partielles) au point ; pour des applications en dimension infinie il faut une dérivée de Fréchet ou de Gâteaux appropriée ; les points singuliers où la jacobienne est de rang déficient sont exclus des affirmations d'inversibilité.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la Hessienne (matrice des dérivées secondes) ou le gradient (vecteur des dérivées premières pour une fonction scalaire) ; la jacobienne est spécifiquement la dérivée d'une application vectorielle.

Synthèse

La matrice jacobienne est l'application linéaire locale — assemblée à partir des dérivées partielles d'ordre un — qui code comment de petites perturbations d'entrée sont transportées en perturbations de sortie et qui sous-tend les changements de coordonnées et l'analyse de stabilité.