Un tuple representante usado para describir puntos en el espacio proyectivo; dos tuplas representan el mismo punto proyectivo si difieren por un factor escalar no nulo, posibilitando el tratamiento lineal de los puntos en el infinito.

Principio

Equivalencia proyectiva: las coordenadas homogéneas se definen hasta multiplicación por un escalar no nulo, unificando direcciones afines y direcciones al infinito en un marco lineal y haciendo que las transformaciones proyectivas actúen linealmente sobre las tuplas.

Demostración

Un punto afín (x,y) en el plano se representa como (X:Y:1) en coordenadas homogéneas; direcciones y puntos en el infinito tienen la tercera coordenada cero, p. ej. (a:b:0) denota la dirección con pendiente b/a.

Aplicación incorrecta

Tratar las coordenadas homogéneas como representantes únicos o normalizar en puntos donde la coordenada principal es cero (provocando división por cero) produce interpretaciones afines erróneas.

Consecuencia

Permite una representación algebraica uniforme de intersecciones, envolventes y transformaciones proyectivas, y simplifica el manejo de perspectiva, puntos de fuga y el infinito en geometría y visión por ordenador.

Inversión

Convertir de nuevo a coordenadas afines mediante la escala para fijar una coordenada a la unidad elimina la representación de puntos en el infinito; al elevar tuplas afines a forma homogénea se restaura la linealidad para operaciones proyectivas.

Límite

Aplica a la geometría proyectiva y a cálculos que aprovechan la invariancia por escala; no es apropiada cuando importa la escala absoluta de vectores (por ejemplo, longitudes métricas) salvo que se añada estructura adicional.

Tensión semántica

Cercana a coordenadas barycentricas o afines pero difiere en la equivalencia por escalado y en la representación de puntos en el infinito; las coordenadas homogéneas linealizan transformaciones proyectivas mientras que las afines no representan naturalmente el infinito.

Síntesis

Las coordenadas homogéneas son clases de equivalencia por escala de tuplas que embeben el espacio afín en el proyectivo, permitiendo la manipulación mediante álgebra lineal de puntos, direcciones y puntos en el infinito en un marco coherente.