Un tuple représentant utilisé pour décrire des points dans l'espace projectif ; deux tuples représentent le même point projectif s'ils diffèrent par un facteur scalaire non nul, permettant le traitement linéaire des points à l'infini.

Principe

Équivalence projective : les coordonnées homogènes sont définies à une multiplication scalaire non nulle près, unifiant directions affines et directions à l'infini dans un cadre linéaire et rendant les transformations projectives comme des actions linéaires sur les tuples.

Démonstration

Un point affine (x,y) du plan se représente par (X:Y:1) en coordonnées homogènes ; les directions et points à l'infini ont la troisième coordonnée nulle, p. ex. (a:b:0) désigne la direction de pente b/a.

Mauvaise application

Considérer les coordonnées homogènes comme des représentants uniques ou normaliser en un point où la coordonnée principale s'annule (provoquant une division par zéro) conduit à des interprétations affines incorrectes.

Conséquence

Permet une représentation algébrique uniforme des intersections, joins et transformations projectives, et simplifie la gestion de la perspective, des points de fuite et de l'infini en géométrie et en vision par ordinateur.

Inversion

Reconvertir en coordonnées affines en ramenant une coordonnée à l'unité supprime la représentation des points à l'infini ; inversement, relever des tuples affines en forme homogène restaure la linéarité pour les opérations projectives.

Limite

S'applique à la géométrie projective et aux calculs exploitant l'invariance d'échelle ; inadaptée aux contextes où l'échelle absolue des vecteurs importe (par ex. longueurs métriques) sauf si on ajoute une structure supplémentaire.

Tension sémantique

Proche des coordonnées barycentriques ou affines mais diffère par l'équivalence sous mise à l'échelle et par la représentation des points à l'infini ; les coordonnées homogènes linéarisent les transformations projectives alors que les coordonnées affines ne représentent pas naturellement l'infini.

Synthèse

Les coordonnées homogènes sont des classes d'équivalence par mise à l'échelle de tuples qui plongent l'espace affine dans l'espace projectif, permettant la manipulation algébrique linéaire des points, directions et points à l'infini dans un cadre cohérent.