Una desigualdad en un espacio con producto interior que afirma que para cualesquiera vectores u y v el valor absoluto de su producto interior está acotado por el producto de sus normas: |⟨u,v⟩| ≤ ||u|| · ||v||.

Principio

Se deriva de la positividad del producto interior considerando la no negatividad de ||u − λ v||^2 para un escalar λ apropiado, y geométricamente expresa que la correlación absoluta es como máximo el producto de las magnitudes.

Demostración

Para vectores reales en R^n, desarrollando 0 ≤ ||u − (⟨u,v⟩/||v||^2) v||^2 se obtiene ||u||^2 ||v||^2 − ⟨u,v⟩^2 ≥ 0, por tanto |⟨u,v⟩| ≤ ||u|| ||v||; la igualdad ocurre iff u y v son linealmente dependientes.

Aplicación incorrecta

Aplicar la desigualdad en espacios sin producto interior (tratando cualquier forma bilineal como producto interior) o afirmar igualdad sin comprobar dependencia lineal conduce a errores.

Consecuencia

Sustenta pruebas de la desigualdad triangular para normas derivadas de productos interiores, conduce a generalizaciones de Hölder en L^p y acota correlaciones y cantidades análogas a la covarianza.

Inversión

No existe una desigualdad inversa general de la misma forma; reclamar una cota inferior proporcional al producto de normas falla salvo que exista estructura adicional (p. ej. restricciones angulares).

Límite

Válida en espacios con producto interior (dimensión finita o infinita); no se aplica en espacios normados arbitrarios sin producto interior, donde hay que usar Hölder u otras desigualdades específicas de L^p.

Tensión semántica

A menudo se compara con la desigualdad de Hölder: Cauchy–Schwarz es el caso p=2 de Hölder y depende de la estructura de producto interior más que solo de las normas.

Síntesis

Cauchy–Schwarz afirma que la magnitud de un producto interior no puede exceder el producto de las longitudes de los vectores, reflejando la proyección geométrica y sirviendo como cota fundamental en análisis y álgebra lineal.