Une inégalité dans un espace à produit scalaire affirmant que pour tous vecteurs u et v la valeur absolue de leur produit scalaire est majorée par le produit de leurs normes : |⟨u,v⟩| ≤ ||u|| · ||v||.

Principe

Elle découle de la positivité du produit scalaire en considérant la non‑négativité de ||u − λ v||^2 pour un scalaire λ approprié, et exprime géométriquement que la corrélation absolue est au plus le produit des amplitudes.

Démonstration

Pour des vecteurs réels de R^n, développer 0 ≤ ||u − (⟨u,v⟩/||v||^2) v||^2 donne ||u||^2 ||v||^2 − ⟨u,v⟩^2 ≥ 0, d'où |⟨u,v⟩| ≤ ||u|| ||v|| ; l'égalité a lieu si et seulement si u et v sont linéairement dépendants.

Mauvaise application

Appliquer l'inégalité dans des espaces dépourvus de produit scalaire (en traitant toute forme bilinéaire comme un produit scalaire) ou affirmer l'égalité sans vérifier la dépendance linéaire conduit à des conclusions erronées.

Conséquence

Elle sous‑tend la preuve de l'inégalité triangulaire pour les normes issues d'un produit scalaire, conduit aux généralisations de Hölder dans les L^p et borne les corrélations et quantités analogues à une covariance.

Inversion

Il n'existe pas d'inégalité réciproque générale de même forme ; prétendre une minoration proportionnelle au produit des normes échoue sauf si une structure additionnelle (p.ex. contraintes angulaires) est donnée.

Limite

Valable dans les espaces à produit scalaire (de dimension finie ou infinie) ; ne tient pas dans des espaces normés arbitraires dépourvus de produit scalaire, où il faut recourir à Hölder ou d'autres inégalités adaptées aux L^p.

Tension sémantique

Souvent mise en regard avec l'inégalité de Hölder : Cauchy–Schwarz est le cas p=2 de Hölder et repose sur la structure de produit scalaire plutôt que seulement sur les normes.

Synthèse

Cauchy–Schwarz affirme que la magnitude d'un produit scalaire ne dépasse pas le produit des longueurs des vecteurs, reflétant la projection géométrique et constituant une borne fondamentale en analyse et algèbre linéaire.