Un campo vectorial que en cada punto da la dirección y la tasa del mayor aumento de una función escalar diferenciable; en coordenadas euclidianas ∇f = (∂_1 f, ..., ∂_n f).

Principio

Es el campo vectorial único correspondiente a la 1‑forma diferencial df mediante la isomorfía musical inducida por el producto interior: para cualquier dirección v la derivada direccional D_v f = ⟨∇f, v⟩.

Demostración

Para f(x,y) = x^2 + y^2 en R^2, ∇f = (2x, 2y); a lo largo del vector radial unitario r̂ la derivada direccional es ⟨∇f, r̂⟩ = 2r, la tasa de aumento máxima.

Aplicación incorrecta

Tratar el gradiente como invariante sin especificar una métrica o usarlo en variedades sin realizar la isomorfía musical (convertir df en un vector) conduce a errores dependientes de coordenadas.

Consecuencia

El gradiente da la dirección y magnitud de la pendiente más pronunciada, determina las normales a conjuntos de nivel y subyace en campos conservativos: un campo vectorial es gradiente si y solo si su rotor (en dominios simplemente conexos) es nulo.

Inversión

El rotor o componente rotacional de un campo vectorial mide el fallo a ser un gradiente; tomar la divergencia enfatiza el flujo más que el aumento direccional — son nociones diferenciales ortogonales.

Límite

Definido para funciones escalares diferenciables en variedades provistas de un producto interior (métrica riemanniana); en una variedad general hay que usar la métrica para identificar df con ∇f.

Tensión semántica

Distinto de la diferencial (df), que es una 1‑forma; el gradiente es la representación vectorial dependiente de la métrica de df — la confusión surge cuando se omite la métrica o se asume tácitamente una estructura euclídea.

Síntesis

El gradiente es el campo vectorial dependiente de la métrica que representa la diferencial de un escalar: señala la máxima subida, su magnitud es la derivada direccional máxima y enlaza las 1‑formas con la teoría del cálculo vectorial.