Un champ de vecteurs qui en chaque point donne la direction et le taux d'accroissement maximal d'une fonction scalaire différentiable ; en coordonnées euclidiennes ∇f = (∂_1 f, ..., ∂_n f).

Principe

C'est le champ de vecteurs unique correspondant à la 1‑forme différentielle df via l'isomorphisme induit par le produit scalaire (isomorphisme musical) : pour toute direction v la dérivée directionnelle D_v f = ⟨∇f, v⟩.

Démonstration

Pour f(x,y) = x^2 + y^2 sur R^2, ∇f = (2x, 2y) ; le long du vecteur radial unitaire r̂, la dérivée directionnelle vaut ⟨∇f, r̂⟩ = 2r, le taux d'accroissement maximal.

Mauvaise application

Traiter le gradient comme invariant sans préciser une métrique ou l'utiliser sur des variétés sans effectuer l'isomorphisme musical (convertir df en vecteur) conduit à des erreurs dépendant des coordonnées.

Conséquence

Le gradient donne la direction et la magnitude de la pente maximale, détermine les normales aux ensembles de niveau et sous‑tend les champs conservatifs : un champ vectoriel est un gradient si et seulement si son rotationnel (sur un domaine simplement connexe) est nul.

Inversion

Le rotationnel (curl) mesure l'échec à être un gradient ; prendre la divergence met l'accent sur le flux plutôt que sur l'accroissement directionnel — ce sont des notions différentielles complémentaires.

Limite

Défini pour des fonctions scalaires différentiables sur des variétés munies d'un produit scalaire (métrique riemannienne) ; sur une variété quelconque il faut la métrique pour identifier df à ∇f.

Tension sémantique

Distinct de la différentielle (df), qui est une 1‑forme ; le gradient est la représentation vectorielle dépendante de la métrique de df — la confusion survient quand la métrique est omise ou qu'une structure euclidienne ambiante est supposée tacitement.

Synthèse

Le gradient est le champ de vecteurs dépendant de la métrique qui représente la différentielle d'un scalaire : il indique la montée la plus forte, sa norme est la dérivée directionnelle maximale et il relie les 1‑formes au calcul vectoriel.