Una trayectoria invariante o variedad invariante en un sistema dinámico que separa regiones de comportamiento cualitativamente distinto en el espacio de fases, a menudo formada por la variedad estable o inestable de un conjunto invariante de tipo silla.

Principio

Las separatrices surgen de conjuntos invariantes con distintos tipos de estabilidad y actúan como fronteras entre cuencas de atracción o regímenes asintóticos distintos; son invariantes bajo el flujo y determinan la organización global del retrato de fases.

Demostración

En una EDO autónoma planar con un punto silla, la variedad estable (dos curvas separatrices) divide el plano en cuencas diferentes que conducen a dos atractores distintos a cada lado.

Aplicación incorrecta

Llamar separatriz a cualquier contorno o frontera, o asumir que un conjunto es invariante sin verificar que la dinámica lo envía dentro de sí mismo.

Consecuencia

Atravesar una separatriz (o perturbar parámetros para desplazarla) conduce a comportamientos asintóticos cualitativamente distintos; las separatrices controlan umbrales de transición y conexiones heteroclínicas entre conjuntos invariantes.

Inversión

Las trayectorias interiores típicas de una misma cuenca que no actúan como fronteras no son separatrices; la ausencia de separatrices implica una cuenca conectada sin partición neta.

Límite

Definida para sistemas dinámicos deterministas (continuos o discretos) con regularidad suficiente; en sistemas estocásticos o no suaves la noción debe adaptarse (p. ej., fronteras de cuencas probabilísticas).

Tensión semántica

Cercana a los conceptos de variedad estable/inestable y frontera de cuenca; la tensión semántica surge al distinguir una separatriz (variedad invariante que separa) de un simple conjunto de nivel o frontera transitoria.

Síntesis

Una separatriz es una variedad invariante — a menudo la variedad estable o inestable de un conjunto invariante de tipo silla — que particiona el espacio de fases en regiones con distinto comportamiento asintótico y organiza la dinámica global.