Une trajectoire ou variété invariante d'un système dynamique qui sépare des régions du comportement qualitatif différent dans l'espace des phases, souvent formée par la variété stable ou instable d'un ensemble invariant de type selle.

Principe

Les séparatrices proviennent d'ensembles invariants de types de stabilité différents et servent de frontières entre bassins d'attraction ou régimes asymptotiques distincts ; elles sont invariantes par le flot et organisent le portrait d'ensemble de la dynamique.

Démonstration

Dans une EDO autonome planaire avec un point fixe selle, la variété stable (deux courbes séparatrices) divise le plan en bassins différents conduisant à deux attracteurs distincts de part et d'autre.

Mauvaise application

Qualifier de séparatrice n'importe quel contour ou frontière, ou supposer qu'un ensemble est invariant sans vérifier qu'il est envoyé sur lui-même par la dynamique.

Conséquence

Traverser une séparatrice (ou modifier les paramètres pour la déplacer) entraîne un comportement asymptotique qualitativement différent ; les séparatrices contrôlent les seuils de transition et les connexions hétéroclines entre ensembles invariants.

Inversion

Les trajectoires intérieures typiques d'un même bassin qui ne jouent pas le rôle de frontière ne sont pas des séparatrices ; l'absence de séparatrice implique un bassin connecté sans partition nette.

Limite

Définie pour les systèmes dynamiques déterministes (continus ou discrets) avec régularité suffisante ; dans les systèmes stochastiques ou non lisses, la notion doit être adaptée (ex. frontières de bassins probabilistes).

Tension sémantique

Voisine des notions de variété stable/instable et de frontière de bassin ; la tension sémantique apparaît lorsqu'il faut distinguer une séparatrice (variété invariante qui sépare) d'un simple niveau ou d'une frontière transitoire.

Synthèse

Une séparatrice est une variété invariante — souvent la variété stable ou instable d'un ensemble invariant de type selle — qui partitionne l'espace des phases en régions de comportements asymptotiques différents et organise la dynamique globale.