Una métrica sobre los subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico, definida como el menor ε tal que cada conjunto está contenido en la vecindad ε del otro; equivalente al máximo de las dos distancias dirigidas conjunto→conjunto.

Principio

Mide la mayor distancia mínima entre puntos de dos conjuntos, proporcionando una noción uniforme de cercanía para formas; la convergencia en distancia de Hausdorff significa convergencia uniforme de conjuntos en el espacio ambiente.

Demostración

Para dos segmentos de recta en R^2 paralelos y desplazados por una distancia d, la distancia de Hausdorff vale d; para formas anidadas, la distancia registra el desplazamiento máximo requerido hacia el exterior para cubrir una por la otra.

Aplicación incorrecta

Aplicar la distancia de Hausdorff sin más a conjuntos no compactos o no acotados (puede ser infinita), o esperar que refleje similitud volumétrica o en medida.

Consecuencia

El espacio de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico completo es él mismo completo bajo la distancia de Hausdorff; proporciona una topología usada en comparación de formas, convergencia de atractores y argumentos de límite geométrico.

Inversión

Otras distancias entre conjuntos (p. ej., la medida de la diferencia simétrica o distancias de Wasserstein) capturan características distintas como discrepancia de medida o coste de transporte de masa y pueden discrepar con la cercanía en Hausdorff.

Límite

Definida usualmente para subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico; las extensiones a conjuntos cerrados o no acotados requieren modificaciones (p. ej., métrica de Hausdorff acotada) y pueden perder propiedades de compacidad.

Tensión semántica

Tensión con distancias basadas en medida y con topologías como la de Vietoris o Fell; Hausdorff enfatiza el borde y las brechas en el peor caso más que las diferencias medias o probabilísticas.

Síntesis

La distancia de Hausdorff es el desajuste de vecino más cercano supremal entre conjuntos compactos en un espacio métrico, proporcionando una métrica uniforme y de peor caso para la proximidad de formas.