Une métrique sur les sous-ensembles compacts non vides d'un espace métrique, définie comme le plus petit ε tel que chaque ensemble soit contenu dans le voisinage ε de l'autre ; équivalemment le maximum des deux distances dirigées ensemble→ensemble.

Principe

Elle mesure la plus grande distance minimale entre points de deux ensembles, fournissant une notion uniforme de proximité pour les formes ; la convergence pour la distance de Hausdorff signifie convergence uniforme des ensembles dans l'espace ambiant.

Démonstration

Pour deux segments de droite parallèles en R^2 séparés par une distance d, la distance de Hausdorff vaut d ; pour des formes emboîtées, la distance enregistre le déplacement maximal vers l'extérieur nécessaire pour recouvrir l'une par l'autre.

Mauvaise application

Appliquer la distance de Hausdorff sans précaution à des ensembles non compacts ou non bornés (elle peut être infinie), ou s'attendre à ce qu'elle reflète la similarité volumétrique ou en mesure.

Conséquence

L'espace des sous-ensembles compacts non vides d'un espace métrique complet est lui-même complet pour la distance de Hausdorff ; elle induit une topologie utilisée en comparaison de formes, convergence d'attracteurs et arguments de limite géométrique.

Inversion

D'autres distances entre ensembles (p. ex. mesure de la différence symétrique ou distances de Wasserstein) captent des caractéristiques différentes comme la divergence en mesure ou le coût de transport de masse et peuvent diverger de la proximité au sens de Hausdorff.

Limite

Définie classiquement pour les sous-ensembles compacts non vides d'un espace métrique ; les extensions aux ensembles fermés ou non bornés exigent des modifications (p. ex. métrique de Hausdorff bornée) et peuvent perdre des propriétés de compacité.

Tension sémantique

Tension avec des distances fondées sur la mesure et avec des topologies comme les topologies de Vietoris ou de Fell ; Hausdorff met l'accent sur les bords et les écarts au pire cas plutôt que sur des différences moyennes ou probabilistes.

Synthèse

La distance de Hausdorff est le décalage maximal de voisinage (mismatch) entre ensembles compacts dans un espace métrique, fournissant une métrique uniforme et au pire-cas pour la proximité des formes.