Un punto crítico de un campo escalar dos veces diferenciable en el que el gradiente se anula y la aproximación cuadrática muestra direcciones de curvatura tanto positiva como negativa, por lo que el punto no es ni un mínimo ni un máximo local.

Principio

El comportamiento local de segundo orden determina la clasificación: direcciones de curvatura de signos mixtos crean direcciones atractoras y repulsoras que se cruzan para los flujos vecinos.

Demostración

Ejemplo: f(x,y) = x^2 - y^2 tiene un punto silla en el origen: en la dirección x la función aumenta, en la dirección y disminuye.

Aplicación incorrecta

Tratar todo punto crítico no extremal como irrelevante dinámicamente; las sillas suelen organizar trayectorias y mediar transiciones en flujos tipo gradiente.

Consecuencia

Cerca de una silla, las trayectorias se aproximan por direcciones estables y salen por direcciones inestables; por ello las sillas estructuran fronteras de cuencas y vías de transición.

Inversión

Extremo local: todas las direcciones de curvatura tienen el mismo signo, produciendo un mínimo o máximo puro sin direcciones estables/inestables cruzadas.

Límite

Requiere al menos C^2 del campo escalar para aplicar la prueba de la segunda derivada; excluye extremos restringidos en fronteras del dominio o picos no diferenciables.

Tensión semántica

A menudo se confunde con crestas o valles en análisis de datos aplicados; una silla tiene curvatura local mixta, mientras que una cresta presenta signo de curvatura consistente en direcciones transversales.

Síntesis

Un punto silla es un punto crítico no extremal con curvatura mixta que organiza la dinámica cercana mediante direcciones estables e inestables que se cruzan en la aproximación cuadrática local.