Un point critique d'un champ scalaire deux fois différentiable où le gradient s'annule et où l'approximation quadratique présente des directions de courbure à la fois positive et négative, de sorte que le point n'est ni un minimum local ni un maximum local.

Principe

Le comportement local au second ordre détermine la classification : des directions de courbure de signes mixtes créent des directions attractives et répulsives qui se croisent pour les flux voisins.

Démonstration

Exemple : f(x,y) = x^2 - y^2 possède un point selle à l'origine : selon x la fonction croît, selon y elle décroît.

Mauvaise application

Considérer comme insignifiant tout point critique non extrémal ; les selles organisent souvent les trajectoires et médiatisent les transitions dans les flux de type gradient.

Conséquence

Près d'une selle, les trajectoires approchent selon des directions stables et s'éloignent selon des directions instables ; les selles structurent donc les frontières de bassin et les voies de transition.

Inversion

Extremum local : toutes les directions de courbure ont le même signe, produisant un minimum ou un maximum pur sans directions stables/instables croisées.

Limite

Nécessite au moins C^2 pour appliquer le test des dérivées secondes ; exclut les extrema contraints situés sur les bords du domaine ou les maxima non différentiables.

Tension sémantique

Souvent confondu avec des rides ou vallées en analyse de données appliquée ; une selle présente une courbure locale mixte, alors qu'une ride a un signe de courbure constant transverse.

Synthèse

Un point selle est un point critique non extrémal de courbure mixte qui organise la dynamique locale via des directions stables et instables croisées dans l'approximation quadratique.