Un ultrafiltro es un filtro propio maximal sobre un conjunto: una colección de subconjuntos cerrada bajo intersecciones finitas y superconjuntos, que no contiene el conjunto vacío, y tal que para cada subconjunto A o A o su complemento pertenece al ultrafiltro.

Principio

Maximalidad entre filtros: un ultrafiltro extiende la propiedad de intersección finita a una regla decisiva de selección que para cada subconjunto elige la pertenencia o su complemento, comportándose como una medida finitamente aditiva con valores {0,1} sobre la familia de partes.

Demostración

Dado un punto x en un conjunto X, el ultrafiltro principal en x consiste en todos los subconjuntos de X que contienen x; un ultrafiltro no principal en los naturales (cuya existencia requiere el axioma de elección) contiene todos los conjuntos cofinos y más, determinando límites a lo largo de subsecuelas dirigidas por el ultrafiltro.

Aplicación incorrecta

Tratar una función finitamente aditiva cualquiera como un ultrafiltro o asumir que los ultrafiltros no principales existen constructivamente sin invocar elección; o usar la selección por ultrafiltro como si fuese única y canónica en conjuntos infinitos.

Consecuencia

Los ultrafiltros proporcionan herramientas de compacidad (compactificación de Stone–Čech), permiten construir ultraproductos y límites no estándar, y convierten propiedades eventualistas en declaraciones de pertenencia definitivas que facilitan argumentos por límite y principios de transferencia.

Inversión

Un filtro propio que no es maximal: puede ser cerrado por intersecciones y superconjuntos pero fracasa en la dicotomía de que cada subconjunto o su complemento sea seleccionado, por lo que ofrece una selección menos decisiva para límites.

Límite

Definido en conjuntos arbitrarios, pero la existencia de ultrafiltros no principales en conjuntos infinitos depende del axioma de elección; en conjuntos finitos todo ultrafiltro es principal y corresponde a un único punto.

Tensión semántica

Filtro versus ultrafiltro: los filtros codifican convergencia y ‘bigness’ sin decisividad máxima, mientras que los ultrafiltros, como filtros maximales, se comportan como medidas binarias y confieren principios de selección más fuertes.

Síntesis

Un ultrafiltro es un filtro propio maximal en un conjunto que, al seleccionar para cada subconjunto o este o su complemento, actúa como un dispositivo decisivo binario para construcciones de límites y compacidad en topología, teoría de modelos y combinatoria.