Un ultrafiltre est un filtre propre maximal sur un ensemble : une collection de sous-ensembles fermée par intersections finies et par passages à des sur-ensembles, ne contenant pas l'ensemble vide, et telle que pour tout sous-ensemble A, soit A soit son complément appartient à l'ultrafiltre.

Principe

Maximalité parmi les filtres : un ultrafiltre étend la propriété d'intersection finie en une règle de sélection décisive qui pour chaque sous-ensemble choisit l'appartenance ou son complément, en faisant une mesure finiment additive à valeurs {0,1} sur l'ensemble des parties.

Démonstration

Pour un point x dans un ensemble X, l'ultrafiltre principal en x consiste en tous les sous-ensembles de X contenant x ; un ultrafiltre non principal sur les entiers naturels (dont l'existence nécessite le choix) contient tous les ensembles cofins et d'autres encore, déterminant des limites le long de sous-suites dirigées par l'ultrafiltre.

Mauvaise application

Prendre une fonction additive finie arbitraire sur les parties pour un ultrafiltre ou supposer que des ultrafiltres non principaux existent constructivement sans invoquer l'axiome du choix ; ou utiliser la sélection par ultrafiltre comme si elle était unique et canonique sur les ensembles infinis.

Conséquence

Les ultrafiltres fournissent des outils de compacité (compactification de Stone–Čech), permettent la construction d'ultraproduits et de limites non standard, et transforment des propriétés « éventuelles » en énoncés d'appartenance définitifs facilitant arguments par limites et principes de transfert.

Inversion

Un filtre propre qui n'est pas maximal : il peut être fermé par intersections et sur-ensembles mais échouer à la dichotomie « chaque sous-ensemble ou son complément », fournissant ainsi une sélection moins décisive pour les limites.

Limite

Défini sur des ensembles quelconques mais l'existence d'ultrafiltres non principaux sur des ensembles infinis dépend de l'axiome du choix ; sur des ensembles finis tout ultrafiltre est principal et correspond à un point unique.

Tension sémantique

Filtre versus ultrafiltre : les filtres encodent convergence et « grandeur » sans la décision maximale, tandis que les ultrafiltres, filtres maximaux, se comportent comme des mesures binaires et offrent des principes de sélection plus forts.

Synthèse

Un ultrafiltre est un filtre propre maximal sur un ensemble qui, en sélectionnant pour chaque sous-ensemble soit celui-ci soit son complément, fonctionne comme un dispositif décisif binaire pour les constructions de limites et de compacité en topologie, théorie des modèles et combinatoire.