Una operación de índices que suma sobre un par formado por un índice covariante y uno contravariante de un tensor, produciendo un tensor de menor orden (posiblemente un escalar).

Principio

Emplear el apareamiento natural entre un espacio vectorial y su dual para eliminar ranuras de índices emparejadas, reduciendo el orden del tensor y preservando la covarianza de coordenadas.

Demostración

Dado T^i_{jk} y un vector v^j, la contracción en j produce S^i_k = T^i_{jk} v^j. Contraer g_{ij} con g^{jk} da δ_i^k (delta de Kronecker).

Aplicación incorrecta

Sumar índices de la misma varianza (dos índices contravariantes) sin elevar/abajar con una métrica, generando un objeto que no se transforma tensorialmente.

Consecuencia

Genera escalares invariantes (trazas) y tensores de menor orden usados para divergencias, trazas y composiciones de mapas; codifica evaluaciones coordenada-independientes.

Inversión

Producto tensorial: combina tensores añadiendo ranuras de índices sin sumar, aumentando el orden en lugar de reducirlo.

Límite

Requiere llevar cuenta de la varianza de índices y de la existencia de una métrica para elevar/abajar; en lenguaje sin índices la contracción corresponde a la evaluación/composición de aplicaciones multilineales; no está definida cuando falta el apareamiento dual o se aplica mal.

Tensión semántica

Frente a la composición sin índices: la contracción puede verse como composición/evaluación de mapas lineales, pero es común confundirla con multiplicación elemento a elemento o con un producto interior que necesita métrica.

Síntesis

La contracción es la suma canónica de índices duales emparejados que reduce el orden tensorial usando el apareamiento vector–covector, produciendo trazas invariantes y composiciones multilinares.