Un par de relaciones diferenciales parciales de primer orden sobre las partes real e imaginaria de una función con valores complejos definida en un abierto del plano; son las condiciones locales necesarias y suficientes para que la función sea compleja-diferenciable (holomorfa).

Principio

Una función f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y) es holomorfa si y sólo si las derivadas parciales de u y v existen y satisfacen ux = vy y uy = -vx en cada punto del dominio.

Demostración

Para f(z)=z^2 con z=x+iy, u=x^2−y^2 y v=2xy; se obtiene ux=2x, vy=2x y uy=−2y, vx=2y, por lo que ux=vy y uy=−vx se cumplen en todo punto, comprobando la holomorfía.

Aplicación incorrecta

Usar las relaciones para concluir diferenciabilidad cuando u y v no son diferenciables (las igualdades requieren existencia de las derivadas); o aplicarlas en puntos de la frontera sin garantizar diferenciabilidad interior.

Consecuencia

Si se satisfacen en un abierto, implican propiedades rígidas: diferenciabilidad compleja en cada punto, expansión local en series de potencias y que u y v sean funciones armónicas.

Inversión

Invertir el concepto produce funciones cuyas parciales no cumplen las igualdades; tal función no es complejo-diferenciable y puede carecer de expansión en serie en torno a un punto.

Límite

Se aplica solo a funciones en abiertos de R^2 (o C) con derivadas parciales primeras existentes; no se aplica directamente a funciones de varias variables complejas ni a distribuciones sin más interpretación.

Tensión semántica

Un significado cercano es la satisfacción de las relaciones de Cauchy–Riemann en sentido débil o distributivo, que relaja la exigencia de diferenciabilidad puntual.

Síntesis

Las ecuaciones de Cauchy–Riemann son la prueba diferencial local que transforma la información de derivadas reales en la propiedad analítica compleja de holomorfía, vinculando las parciales de las componentes con la diferenciabilidad compleja.