Une paire de relations différentielles partielles du premier ordre portant sur les parties réelle et imaginaire d'une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert du plan ; ce sont les conditions locales nécessaires et suffisantes pour que la fonction soit complexe-différentiable (holomorphe).

Principe

Une fonction f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y) est holomorphe si et seulement si les dérivées partielles de u et v existent et vérifient ux = vy et uy = -vx en chaque point du domaine.

Démonstration

Pour f(z)=z^2 avec z=x+iy, u=x^2−y^2 et v=2xy ; on calcule ux=2x, vy=2x et uy=−2y, vx=2y donc ux=vy et uy=−vx sont vérifiées partout, établissant l'holomorphie.

Mauvaise application

Utiliser ces relations pour conclure à la différentiabilité lorsque u et v ne sont pas différentiables (les égalités des partielles exigent l'existence des dérivées) ; ou les appliquer en des points de frontière sans assurer la différentiabilité intérieure.

Conséquence

Si elles sont satisfaites sur un ouvert, les relations impliquent des propriétés rigides : différentiabilité complexe en chaque point, développement local en série entière et caractère harmonique de u et v.

Inversion

L'inverse est une paire de fonctions dont les dérivées partielles ne satisfont pas les égalités ; une telle fonction n'est pas complexe-différentiable et n'a pas nécessairement de développement en série.

Limite

S'applique seulement aux fonctions sur des ouverts de R^2 (ou C) avec dérivées partielles premières existantes ; elle ne s'applique pas directement aux fonctions de plusieurs variables complexes ni aux distributions sans interprétation supplémentaire.

Tension sémantique

Un concept voisin est la satisfaction des relations de Cauchy–Riemann au sens distributionnel, qui relâche l'exigence de différentiabilité ponctuelle.

Synthèse

Les équations de Cauchy–Riemann sont le test différentiel local qui convertit l'information des dérivées réelles en la propriété analytique complexe d'holomorphie, reliant les dérivées partielles des composantes à la différentiabilité complexe globale.