Campo liso en una variedad diferenciable que asigna en cada punto una forma bilineal simétrica y no degenerada sobre el espacio tangente, usada para medir localmente longitudes, ángulos y volúmenes.

Principio

Proveer un producto interior puntual sobre vectores tangentes cuya variación suave codifica información geométrica sobre distancias y curvatura.

Demostración

En R^n euclidiano el tensor métrico se representa en coordenadas cartesianas por la matriz identidad, obteniendo la fórmula estándar para la longitud; en una superficie bidimensional en el espacio tridimensional la métrica inducida se calcula a partir de la primera forma fundamental.

Aplicación incorrecta

Tratar las componentes en coordenadas como escalares invariantes o suponer definitez positiva cuando el contexto exige una firma indefinida (por ejemplo en modelos relativistas).

Consecuencia

Determina las ecuaciones de las geodésicas, el elemento de volumen, la medida de ángulos y operaciones para alzar/bajar índices; cambiar la métrica cambia todas las cantidades dependientes de ella.

Inversión

Una forma bilineal simétrica degenerada o una conexión sin métrica contrastan con un tensor métrico verdadero: no proporcionan medidas locales de longitud no degeneradas.

Límite

Definido para variedades suaves y campos tensores lisos; no incluye funciones de distancia puramente combinatorias en conjuntos discretos ni métricas generalizadas no suaves sin estructura diferenciable.

Tensión semántica

Se confunde con una función de distancia (noción de espacio métrico) que especifica distancias por pares globalmente; el tensor métrico es una forma bilineal local dependiente de coordenadas que induce una distancia al integrarse sobre curvas.

Síntesis

El tensor métrico es la forma bilineal simétrica y suave en una variedad que codifica nociones locales de longitud, ángulo y volumen y sostiene operaciones geométricas como geodésicas y curvatura.