Champ lisse sur une variété différentiable qui associe en chaque point une forme bilinéaire symétrique et non dégénérée sur l'espace tangent, utilisée pour mesurer localement longueurs, angles et volumes.

Principe

Fournir un produit scalaire ponctuel sur les vecteurs tangents dont la variation lisse encode l'information géométrique sur les distances et la courbure.

Démonstration

Sur R^n euclidien, le tenseur métrique est représenté en coordonnées cartésiennes par la matrice identité, donnant la formule standard de la longueur ; sur une surface en trois dimensions, la métrique induite se calcule à partir de la première forme fondamentale.

Mauvaise application

Traiter les composantes de coordonnées comme des scalaires invariants ou supposer la positivité définie quand le contexte exige une signature indéfinie (par exemple en relativité).

Conséquence

Détermine les équations géodésiques, l'élément de volume, la mesure des angles et les opérations d'abaissement/élévation d'indices ; modifier la métrique modifie toutes les quantités dépendantes de la métrique.

Inversion

Une forme bilinéaire symétrique dégénérée ou une connexion sans métrique contrastent avec un vrai tenseur métrique : ils ne fournissent pas de mesures locales non dégénérées des longueurs.

Limite

Défini pour des variétés lisses et des champs de tenseurs lisses ; n'inclut pas les fonctions de distance purement combinatoires sur ensembles discrets ni les métriques généralisées non lisses sans structure différentiable.

Tension sémantique

Peut être confondu avec une fonction de distance (notion d'espace métrique) qui spécifie des distances par paires globalement ; le tenseur métrique est une forme bilinéaire locale, dépendante des coordonnées, qui induit une distance lorsqu'on l'intègre le long de courbes.

Synthèse

Le tenseur métrique est la forme bilinéaire symétrique et lisse sur une variété qui encode les notions locales de longueur, d'angle et de volume et sert de base aux opérations géométriques telles que les géodésiques et la courbure.