Un homeomorfismo desde un subconjunto abierto de un espacio topológico que localmente se parece al espacio euclidiano hacia un subconjunto abierto de R^n; proporciona una tupla de coordenadas que etiqueta puntos en ese vecindario.

Principio

Las parametrizaciones euclidianas locales permiten coordenadas explícitas para el cálculo y la comparación, posibilitando cálculo diferencial y construcciones locales al reducir problemas a fórmulas euclidianas conocidas.

Demostración

Longitud y latitud forman una carta de coordenadas sobre la superficie terrestre excluyendo los polos; para cubrir la superficie completa se usan varias cartas solapadas para evitar singularidades en esos puntos.

Aplicación incorrecta

Tratar las coordenadas de una sola carta como válidas globalmente en un espacio con topología no trivial produce singularidades de coordenadas o artefactos que ocultan propiedades geométricas intrínsecas.

Consecuencia

Una colección compatible de cartas (un atlas) permite ensamblar parametrizaciones locales en una estructura global con la regularidad elegida, permitiendo definiciones globales de tensores, campos y operaciones diferenciales.

Inversión

Los sistemas de coordenadas globales que asignan un único tupla a cada punto existen sólo en espacios topológicamente simples; la ausencia de tal sistema es una propiedad global real, no un fallo local.

Límite

Una carta es un objeto local: requiere mapas de transición definidos en las intersecciones para relacionar diferentes cartas y debe cumplir la regularidad de la categoría elegida (continua, suave, analítica); las cartas no tienen por qué extenderse globalmente.

Tensión semántica

La conveniencia de coordenadas locales puede ocultar invariantes y obstrucciones globales; trabajar en coordenadas simplifica cálculos pero puede perder fenómenos independientes de la parametrización.

Síntesis

Una carta de coordenadas es una parametrización local que asigna tuplas euclidianas a puntos de un vecindario, permitiendo el cálculo local y el ensamblaje de una estructura geométrica global.