Un homéomorphisme d'un ouvert d'un espace topologique qui ressemble localement à l'espace euclidien vers un ouvert de R^n ; il fournit un n-uplet de coordonnées qui étiquettent les points de ce voisinage.

Principe

Les paramétrisations euclidiennes locales permettent des coordonnées explicites pour le calcul et la comparaison, rendant possible le calcul différentiel et les constructions locales en ramenant les problèmes à des formules euclidiennes familières.

Démonstration

La longitude et la latitude forment une carte de coordonnées sur la surface terrestre en excluant les pôles ; pour recouvrir toute la surface on utilise plusieurs cartes locales recouvrantes afin d'éviter des singularités en ces points.

Mauvaise application

Traiter les coordonnées d'une seule carte comme valides globalement sur un espace à topologie non triviale produit des singularités de coordonnées ou des artefacts qui masquent les propriétés géométriques intrinsèques.

Conséquence

Une collection compatible de cartes (un atlas) permet d'assembler des paramétrisations locales en une structure globale avec la régularité choisie, autorisant des définitions globales de tenseurs, champs et opérations différentielles.

Inversion

Les systèmes de coordonnées globaux qui assignent un seul n-uplet à chaque point existent seulement sur des espaces topologiquement simples ; l'absence d'un tel système est une propriété globale réelle, non une simple défaillance locale.

Limite

Une carte est un objet local : elle exige des applications de transition définies sur les recouvrements pour relier différentes cartes et doit satisfaire aux exigences de régularité de la catégorie choisie (continue, lisse, analytique) ; les cartes ne s'étendent pas nécessairement globalement.

Tension sémantique

La commodité des coordonnées locales peut masquer des invariants et des obstructions globales ; travailler en coordonnées simplifie les calculs mais risque d'occulter des phénomènes indépendants de la paramétrisation.

Synthèse

Une carte locale de coordonnées est une paramétrisation qui assigne à chaque point d'un voisinage un n-uplet euclidien, permettant le calcul local et l'assemblage d'une structure géométrique globale.